l3o OBSERVATIONS SLR 1,A SKRII'. 1)E I.ACRANCE 



Si lo theoreme enonce est exact, on pourrait done , c\\ ilonnaul m // 

 des valcurs convcnables, obtcnir successivcment loutes les racines de la 

 proposee. Ainsi , lorsqnc h , par excin|)lc , precede iininedialcmcnt en 

 grandeur la premiere raeine «, Ion aurail ar^^a; si h au contraire 

 est pris de telle maniere qu'il suive, en ordre de grandeur, la derniere 

 racinc , c'est celle-ci qui sera representee par la serie (r) : ainsi des 

 aulres. Cettc proposition paraitrait d'autant plus vraie, que si h est une 

 raeine de ia propostie, I'expression de x\, e'est-i-dire de la serie (r) , 

 semble sc reduire a son premier tcrme , c'csl-a-dire a h. 



Telles sont les consequences auxquelles on sciait conduit par I'enonce 

 du theoreme propose. Or il est neccssairc de faire voir com})ien on peul 

 etre indiiit en erreur a cet egard. Pour cela je vais demontrcr que les 

 deu\ expressions de x, et de x^ , deduites des equations (q) et (n) , au 

 lieu d'etre differentes, sont au contraire identiqucs; et que les divcrses 

 series qu'on obliendrait par les transformations indiquees ne rcprtiscntent 

 qu'une meme raeine ; c'est ce que j'ai dejri fait dans mon precedent 

 Memoire sur la serie de Lagrange ; mais je crois convenable d'en rap- 

 porter ici une nouvelle preuve. Dans ce but, observons que u etant 

 egal a h-\-k , et F{h) a k-i-/{h) , les deux equations (q) et (r) 

 devienuent : 



(q')... a-,=/i-|-A-H/(/i-HA)^y^[/(/?-|-A)]'-»--^[/(A-t-A-)y ^etc. 



(k')... x, = h-hk^fhH — —{k^/hy H !__(A_h//i)' -f-etc. 



Or si Ton fait par abreviation 



<!>h=.h-i./h^-L-[/(k)\ ^-L^^[/(h)\' +etc. , 



on aura , en verlu du theoreme de Taylor , 



A /■' 

 (s)... x.= <l>(/i-t- A) = <I>/i-H-<l)'(A)H '1' ■'(/»)-»- etc. 



Cela pose, en developj)ant et ordonnant le second membre de I'equa- 

 tion (r') [lar rapport a A, on trouvera aisement 



