i3j ouskrvations sun i.a skrie he i.AcnANGr, 



savunt que inodeste, a eu la complaisance dc faire i ce sujet; on pourra 

 en suivre aisement toule la niarche et s'assurer ainsi de la verite dii 

 resultal precedent. Ccia etant, on voit a quelle errenr pourrait entraincr 

 renoncc du tlieoreme que Von propose de siibsliluer a celui de Lagrange. 

 Si Ton voiilait en limiler I'applicalion au cas ou la seric est convergente 

 d'apres le sysleme de M.' Cadciiy , il faudrait demonlrer que la con- 

 vergence n'a lieu que pour un systeme de valeurs de h proches de 

 celle de la racine cirectivcment representee par la serie en xjuestion ; 

 et c'esl, je crois , cc qui n'est pas encore fait. 



Reste encore A expliqucr , sur un exemple , I'apparence que prend 

 la seric dans le cas singulier oii h est lui-meme inic racine de la 

 proposec. 



Pour cela, soit toujours I'equation du second degre 



u—x-i-ax^=o , 

 doni les racines supposees x'eelles et positives seront representees par 

 « et |3 ; on aura par consecpent -z=c(^ ; - = a-t-,'3 . Si Ton fail 



/i=zo:, en vertu de la relation h-i-f; = ii , il viendra k^—- ^ • 



Cela pose, ordonnons la serie qui forme le second memhre de I'equa- 

 tion (r") par rapport aux puissances de (k-^ah^), on aura un resullat 

 de la forme 



(t) a-hy4(k-i-ah" )-^ n{k-i-<th')' -i-C(k-i-ah'f -¥-eXc. 



Or, d'apres les valeurs que nous avons adoptees pour h et A', il est 

 • lair que Ton a 



k-i-ah= ^H ^ = . 



Mais il ne faut pas pourtant se hater den conclure que la serie pre- 

 cedente se reduise a son premier lerme a , avant d'avoir reconnu la 



nature des coefficients A , J3, C 



Bornons nos recherches a celle du coefficient ji ; ce que nous di- 

 rons dc celui-ci s'appliquera aux autres. L'on trouvera facilement 



A=.i -^-2u/t-^-^a h'-i- 8 a^h^-h etc. 



2 rj. 4 r^ 8 «' 



