Iia OBSERVATIONS SVn I.A SEniE DF. LAGRANGE 



coiivenablc ilc s'assmcr, aiiparavant, si leurs Iravaux ont elu saisis 

 et iiiterpretes selon leur veritable sens. Or la Icclui'c tic la note ile 

 M.' Cai'chv m'a convaincu qu'il n"en avail pas ele aiiisl; c'esl pourtpioi 

 je ciois utile, dans 1 intciet do la science, de rappeler les vrais piiu- 

 cipcs sur lesquels est fonile le tlieoreme contesle, qui consisle en ce 

 que la racine exprime'e par la serie de Lagrakge est mimcriquement 

 la |)lus petite panni celles de I'equalion proposcc. 



Lorsquon considcre la sc'ric de Lagrange dans toutc sa generalitc, 

 et sans avoir egard a son mode de com'ergciice , il est clair qu'elle peut 

 rej>rescnler une racine qnelconque de la proposee. C'est ce qui resulte 

 de I'analyse mcine q\(i conduit an tlicoremc dent il s'agit, ainsi que je 

 le ferai voir dans Ic cours de ce memoire. Je dois seulement [UTvonir 

 que cctte vcrilu se deduit de considerations tout-a-fait etrangeres a 

 celles qu'on a voulu employer pour prouver I'inexaclilude de la demons- 

 tration de Lagran'ce, et se trouve circ au contraire une consequence 

 iinniediate de cette derniere. 



Mais il y a loin de la serie cnvisngee sous ce point de vuc general 

 au theoreine qui fait I'objet de cette discussion. Le raisonncment sur 

 lequel il est fonde, suppose qu'il se verifie toutes les fois que la serie 

 est cotwergcnte par' rapport ii u?i sjstenie determine de lermes. Or il 

 faut savoir que la convergence de la serie peut s'etablir de deux ma- 

 nieres enlierement diiTerentes, I'une qui se rapporle au iheoi'eu.e ea 

 question, et I'autre qui lui est compleleincnt e'lrangere. Les analystes , 

 qui out juge ce llieorcme inexact, se sont Lomes a le verifier dans les 

 seuls cas oi\ le second sysltJme de convergence avait lieu, sans prendre 

 garde qu'il y en avait un autre auquel la serie devait satisfaire. II n'est 

 ilonc pas elounant qu'ils soient arrives a des consequences ojiposees a 

 relies de Lagrange et qu'ils aient vainement tenle de trouvcr, dans la 

 demonstration de ce grand Geometre, la cause d'une erreur qui n'existe 

 leellement pas ("). L'on ne doit pas non plus etre surpris que M/ Cauchv 

 ait receminent partage cette opinion, car on sail que cet illustre savant 

 a, depuis longtemps, donne, dans le Tome 8.'"'" des IMemoires de I'Aca- 

 demie des Sciences de Paris, une regie pour determiner la condition 

 de convergence de la serie , precisement dans le cas qui est etrangei' 



(") VnirPz a ce Rujet mon Mcuoire sur la sertc de Lagi\.4S0E liaus les Mcmoircs de rAcadcinie 

 dc> Sciences dc Turin, Serie 1!, Tem. VIII. 



