54 MEM01RK SUR LA THEORIE DE l'ACTIOV MOI.I.i I I. AIRE ETC. 



r^^sinx =n rr 



J I COS& — cosx 



ou Ion a fait ; 



2 



n(j:)=3(cos9 — \ — i .sin6)sin.x'-t- -(coszQ — \ — i .sin2&)sin ix 



2 



-H-(cos36 — \— i .siii35)sin3.r-Hetc. : 



II'(jr) = — a (cos 5 — y — i .sind)cos.r (cos afl — \ — \ • sin 2 &) cos ax 



— lj (cos 39 — Y—i . sin 3 5 ) cos 3 x — etc. 



Mais la serie connue 



2 2 



Log(i — 2pcosx-t-p*) = — ip cos x — -p 1 cos 2 .r — ^/; 3 cos 3 .r — etc. , 



en y faisant p = e l ' _ ' , donne 



n'(.r)=Log(i — a.e ~'cos.r-W ' ^ _ ') ; 

 partant nous avons 



cos a: -H- e 



i (/iX* jtsin^t' i 



/'(jc)= I j — =0(a)-4-xLo2 i — 2. 



• /v ' I cos 5 — cosx v ' 3 ) 



(lila pose, si Ton fait ;r=o, x=zn, Ion aura fl(o) = o, n(7t) = o, et 



1 



dx.xsmx ... . -, . T / -8.,/— i 



cosg-cos.r ^^-^^^ 27 '^^-" I 



= 7iLog(2-l-2cos0) — nd.y^l . 



Cette quantite imaginaire est celle trouve'e par Poisson en 1820 

 ( Voyez page 327 du I8'"' 1 ' Cahier du Journal de l'Ecole Polytechnique). 

 Mais cela ne presente aucune contradiction , si Ton observe , que le re- 

 sultat reel de Legendre fournit la sorame algebrique des e'lemens (qui 

 est ici la difference finie entre deux quanlites infinies ) et que le re'sultat 

 imaginaire fournit linte'gralc definie, formee d'apres I'iategrale inflefinie. 



Kn appliquant celle maniere de voir a l'integrale 



r_^ T= i L0 g/^!), 



I I X 2 D \X I / 



