PAR JEAN PLANA 44' 



(3o)... X=- -z=jc n - , -hx"- t -hx"- 3 . 



Ion a X-=PQ ; et par consequent 



(3.)... 4X=(2U—U'-U"y — {U'—U")n(—ii~ Tl . 



C'esl dans cette Equation et decomposition du polynome X en deux f'ac- 

 teurs dn meme degre , que consiste le theoreine public en 1800 par 

 M. r Gauss dans le N.° 35^ de son celebre ouvrage intitule Disquisitiones 

 arithmcticae. La demonstration nouvelle que je viens d'en donner me 

 parait toul-a-fait remarquable. 



[7] Je dois faire observer, avant d'aller plus loin, que l'equation (j'6 ) 

 ne peut etre toujours \Taie sans sous-enlendre que le radical est susceptible 

 d'etre affecte du signe -+- 011 du signe — , suivant les circonstances (pii 

 sonl dependantes de la valeur absolue de la racine r. Car , il est mani- 

 fesle, que en remplacant /• par r s , par exemple, cela change X' en X". 

 et X" en X'. De sorte que , si l'equation etait juste dans le premier cas 

 avec le signe -+- , il faudra affecter le radical du signe — , afin cpi'elle 

 soit aussi juste dans le second. Cette ambiguite aura lieu pour toute puis- 

 sance impaire de X' — X" : car, en designant par p un nombre impair. 

 l'equation (a3) donne 



(3 2 )... (*'-*'Y==±:Kn(-i)^J» V .(-') ( ~ )(V) j • 

 Et Ion pourra elablir , sans ambiguite , les deux equations 



,„. ( x'-x"y-(x'-x") «?, .(=?)(*?) 



(33)... S {X 'l—x") " ' { ~ !) _ ' ; 



a* (x'-x "YM r-x") _ j? rare) . 



puisque l'une et 1' autre derivent de L'equation (32) , soit en supposani 



X'— X"=y n(— i)~, soit en supposant X'— X"=— \ n (— 1 )~ . 



Cependant , si nous supposons que le nombre p soit a la fois impair 



et premier, il y aura une difference essentielle entre ces deux cas , que 



nous allons mettre en evidence, en formant directement la valeur an 



Serie II. Tom. XI. '■ 



