o esl-a-dire 



PAR JEAN PLANA 44^ 



(X'-X")> = -(X'-X")+pN {o) (X'-X") ; 



(X'-x"y ^( X'-x") _ 



\°1) i%l ]£ll\ ~ / ,iV (o) • 



Or cela revient a dire , que le second meinbre de ['equation (34) doit 

 etre on multiple de p , toules les fois que Ton a g lk+ '=:p. Mais cette 

 equation tlonne 



n— i n-i / JM\'* +I "— ■ 



(§ , ** + ') * = P ' i ou men \g * / = P ' '• 



et comrae (par le theoreme de Fermat) g ' = — i-^-MAn) , lorsque g 



n — i 



est une racine primitive, il faut en conclure que si p * +i=il/.(n) , 

 1'on doit avoir 



p=1 (—)( p ~) 



n (— i) +i=M(p) . 



Cette conclusion et la precedente constituent la lot de reciprocity entre 

 deux nombres premiers decouverte par Legendre. En convenant de repre- 



senter par ( - I le reste de la division de p ' par n , et par 1 - ) le 



reste de la division de /;, * par p ; ces restes ( qui ne peuvent etre que 

 -+■ i ou — i ) seront loujours lies par l'equation 



w > (sHf)<-«> 



(=?>(??) 



En rapprochant cette demonstration de celle donnee par M. r Jacobi, 

 et rapportec par Legendre vers la fin du second Volume de sa Tlie'orie 

 des Nombres on jugera, peut-etre, que nous l'avons rendue a la fois plus 

 claire et plus simple. 



[9] Ayanl ainsi clabli l'equation (8), et developpe les principales pro- 

 prietes de la fonction <p(a), je reprends la consideration du probleme 

 (jue jc m'elais d'abord propose ; e'est-a-dire la formation de la valeur de 

 la puissance t"~' du polynome /. La formule(8), par des elevations suc- 

 cessives au carre . donne 



