\l/\ MEMOIRS SLR LINE NOU VEI.I.E SOLUTION AI.GE11RIQUE ETC. 



// — i du polynome qui constituc la base cle la llie'orie de Lagrange, 

 puisee dans les idces par lesquelles Vandermondk, des I'annee 1771- 

 avail resolu ['equation x" — i=o. 



Les calculs (pie j'avais faits pour achever les solutions de plusieurs 

 equations dont le degre est inferieur a 101, m'ont fail connaitre que le 

 polynome, dont je \iens parler , a la singuliere proprie'le de ne point 

 changer dc forme dans son carre; et de la on passe aux autres puissances, 

 a 1'aicle dim autre thcorcme relatif an produit de deux polynomes sem- 

 blables , formes avec deux racines re'ciproques de l'equation du degre 

 n — 1 , qui nait de la division de la propose'e par x — 1. Les nombres 

 premiers de la forme ?.*-4- 1 tels que 17, 25^ sont ceux qui offrent une 

 plus grande facilite. Mais a 1'egard des nombres premiers de la forme 

 >/ ■+- 2*' -+- 1 , tels que ig, 67, i3i, i3<^ , ig3 etc., il devient difficile 

 d'eviter le developpement d'une puissance superieure a celle qui est stricte- 

 ment necessaire pour la solution algebrique. Et c'est a quoi on peut 

 remedier par lemploi reitere du nouveau principe, qui sauve limmense 

 longueur des calculs inherens aux anlres methodes connues. Alors , on 

 concoit que le procede indique par Laghange est , en general , d'une 

 execution impraticable, parceque il developpe des fonctions cpi'il est plus 

 avantageux de laisser sous la forme qui met en evidence les facteurs dont 

 elles sont fonnees. Ces facteurs devoilent, a leur tour, d'aulres proprie'tes 

 secondaires qui facilitent le calcul des modules des differens binomes ima- 

 ginaires qui se combinent dans la formation des racines algebriques 

 cherche'es. 



On verra dans ce Memoire que la loi de re'ciprocite entre deux nombres 

 premiers, decouverte par Legendre en 1785, de'coule naturellement des 

 principes relatifs a la solution de l'equation a deux termes. Mais ces con- 

 siderations ne suffisent pas pour offrir dans ce preambule une idee precise 

 du travail cpie je presenle aujourd'hui a 1' Academic Les Geometres sont 

 forces de rentrer dans le langage algebrique des qu'ils veulent enoncer 

 clairement les ide'es par lesquelles ils sont parvenus a ties resultats qui 

 etablissent une relation intime entre les quantite's trigonomelriques et les 

 quantites radicales. En consequence je borne la la courle indication de 

 mon travail , persuade qu'une plus longue exposition serait inutile pour 

 tous ceux, qui , verses dans cette theorie, auront la curiosite d'examiner 

 les moycns que j'ai employes a travers les details qui donnenl a mon 

 analyse le caractere qui la distingue dc celle pre'ce'demment connue. 



