PAR JEAN PLANA /} 1 5 



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Exposition des fortuities generates. 



[1] Soit g une des racines primitives du nombre premier n, et a une 

 des racines imaginaires de l'equation j?" -1 — 1=0, capable de produire 

 Jes n — i racines de la meme equation par ses puissances successives a , 

 a*, a 3 , «', a" - ', ot"~' = i. 



En designant par r une des racines imaginaires de l'equation x" — 1 = 0, 

 on aura r"= i , et les puissances de r inferieures, c'est-a-dire , /•, r x , /•', 

 r"~' seront les n — i racines imaginaires de l'equation 



(i) x"-'-*-x"-*-\-x n - 1 +z'+x+i = o . 



Rien n'empeche de disposer les racines de cette equation de maniere 

 que les exposans de r constituent , au lieu de la progression arithmetique 



i, 2, 3, 4; n — 1 > ' a progression geometrique i , g , g', g } , 



gK g"" -1 ; puisque, un quelconque g x de ces exposans de ;• est 



necessairement de la forme g y = R-t-M(n) ; R etant un nombre compris 

 enlre i el n — i; et M(n) un multiple de n, ce qui donne r'^'ssi. 

 De plus, on sait que tous les restes R qui naissent de la division de g' 

 par n doivent ctre differens pour des exposans differens , confoi-me'ment 

 i la propriete caracteristique de toute racine primitive du nombre premier n. 



Cela pose , si Ton nomme t le polynome 



(2) < = /'-»-ar s -H«*r el -+-a 3 r g3 +«—/'*""' , 



il est facile de demontrer que la solution algebrique de l'equation ( i ) 

 depend de la connaissance effective de la puissance n — i de ce polynome. 

 Et il est aise de faire voir a priori , que cette puissance se reduit tou- 

 jours a une fonclion de la racine a , independante de la racine /•. Mais, 

 les moyens connus ne pei-meltent pas de realiser cette possibilite ( par 

 l'excessive longueur du calcul), des cpie le nombre n est un pen grand: 

 surtoul , s'il est de ceux de la forme aw-f-i ; m etant aussi un nombre 

 premier. Pour surmonter les dimcultes cpie presente la formation <le la 

 valeur de t"~', je vais d'abord demontrer, que le carre t* du polynome t 

 •-c decompose toujours en deux facteurs, dont un est une fonclion de «, 



