433 MEM01RE SUR UNE NOUVELLE SOLUTION ALGEBRIQUE ETC. 



neut etre demontre'e directetnent a l'aide de l'equalion (8). En effet, en 

 faisant a= i , Ton a, d'apres l'equalion (3); F(r, a) = F(r, x) = — i ; 

 partant <p(a) = — i. Mais, en faisant «= — i, on reconnait par les 

 valeurs particulieres de <p(«) que nous venons d'exposer, que Ion a 

 p (a) = ±ra ; ou le signe -+- a lieu pour les nombres premiers de la 

 forme 4 m ~t"3 , et le signe — pour les nombres premiers de la forme 

 \m-{-i. Cette seconde propriete de la fonction tp (a) peut etre de- 

 montree en general, a priori, a l'aide des considerations suivantes. 



La racine imaginaire a doit etre de la forme <n-Z>yH7 , puisque, 

 par le theoreme de Cotes , Ton a 



ikn . 2 Arc .. — 



« = cos. |-sm V — i ; 



n — i n — i 



k etant un nombre entier. Done, la formule (i3) doit etre toujours re- 

 ductible a la forme A-+-B\^l ; et par le changement de a en - Ton 



doit avoir ; 



De sorte que, le produit <p(a).y [ - ) =A*-\-B % doit etre e'gal au carre 



du module du binome imaginaire A-+-B\^l . Pour determiner ce mo- 

 dule, j'observe que la formule (8) donne a la fois ; 



[F(r,a)J = 9 (a).F(r,a) ; [i^r, i)] '«, ( $ .i^r, {A ; 



et par consequent 



(!4)-.. [i r (r,«).F(r,:)J= ? («). ? (^).F(,-,« 1 ).F(r,4) . 



Les deux polynomes F(r, a) , Fir, -I etant tels, que 



F(r, «) = r-t-ar g -t-«V g *-»-a 3 r g -+-«" -2 r g " ' '■> 



FlrA=r+ l -rs + ^+^ +£rsf"\ 



