PAR JEAN PLANA 3g5 



L'equilibre d'un point materiel place dans l'interieur de la ineirie couche 

 spherique est demon tie par Newton dans sa Proposition LXX. Pour cela 

 il considere la force elementaire 



_, , , dO sin 9 inudu df 



(J = 2nu du — 7j — = . -> ; 



f r J 



et il observe qu'en nommant f la longueur de la ligne f prolongee du 

 cote oppose, l'on aura, de meme, 



_., , , dO'sinB' 27t udu df 



Q = 2nudu — jn — = — - — .-^7- • 



Pour faire voir que les deux forces Q et Q' qui agissent en sens con- 

 traive sont egales, Newton, a recours a la propiiete relative a deux cordes 

 qui se coupent dans le cercle. Ici, les deux cordes etant 



f+f, f+df+f'+df , 



Ton a 1'equation 



ff'=(f+df)(f'+df) , 



d'ou Ton tire ( en negbgeant le produit df. df ) fdf'-*-f'dj=. o , ou 



bien -7- = jj- , et par consequent Q'= — Q- On voit par la qu'U 



faut avoir des idees claires et justes sur le Calcul Differentiel pour ad- 

 mettre, sans replique, une telle demonstration. 



Pour sentir la superiorite de l'analyse moderne , il suflit de considerer 

 le cas ou la loi de l'attraction ne serait pas la raison inverse du carve 

 de la distance, mais une fonction quelconque <?(f) de cette distance. 

 Alovs ('attraction de la couche spherique est exprime'e par 



(i3) J=2nu dul dO sine ( ? ~ ucos \.<p(f) ; 



o 



et comme 1'equation (5) donne 



-+-/' — u 

 ir 

 nous ecrirons 



/ r\ ^ nuduf ,. . ^if-t-r — it \ . ... 

 (i5) A —— — \ d8sme (- J )?(/)■ 



