PAR J. PLANA 4*>9 



On neul done uvaluer I'iirc elliptique E(b, fi") [jar la formule tlonnee 

 par Legendbe a la page 89 du Volume que je viens cle citer. Et coinme 

 il sudll ici tie prendre son premier lerme, Ton a 



£•(6, j3")=^sin.i.^"=sin. \ fi . 

 Mais ruqualion 



£(6, (3')^-£'(^>,/3") =£'(-&)-«- <&'sin.(3'.sin.fi", 

 demonlre que Ton a 



E(b, fi') = E'(b)-i-b'sm. IjS.cos. 1 fi — sin. ' |3 ; 



c'est-a-dire E(b , [i' )=i , en n^gligeaut le produit — Log. |-|, el les 



({uanlites du second ordrc. Ainsi , d'apres cettc discussion , on pent re- 

 duire la valeur precedente de <!• a 



Fail <!>=-. 



"- 2 



La grande simplicite de ce resultat I'ait un contraste fi'appant avec 

 la complication de I'analyse par laquelle il est etabli. En le rapprochant 

 de I'equation [t6], on i-econnait maintenant, que la fonction des deux 



angles «, /3, qui suit le premier lerme -, doit etre a I'ort peu-pres 



egale a zero, dans le cas des petites oscillations du pendule, lout autour 

 lie la verticale. 



II est par Id demontre que ramplitude horizontale de chaque oscil- 

 lation sera de 90°, en negligeant les quantites du second ordre. Ce re- 

 sultat constant, a travers les variations des conditions initiales, determinees 

 par les equations generales 



I' ' = Er' -+■ 2gr cos. <i ; 



, / (Ir dx\ . 



rC=i'\cos.o.~ — sm. c. . -i— I sin. 9 : 

 \ ^ (Is ^ il.i I 



£•/•'< o ; 



ou E et C sont deux constantes arbitraires, et \> designe la vitesse avec 

 laquelle est parcoui-u un element quelconque ds de la courbe decrite par 

 le pendule, n'est pas moins remarquable que celui de son isochronisme 

 <|ui a lieu avec le meme degre d approximation , conformement a noire 

 equation [9]. 



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