U^O SUR LES FRACTIONS EXPONENTIELLES 



ma'mlcnant /iz=2k , ou bien /i-=n/i-i-i \n somme S sera nulle dans 

 le premier cas , ct cgale a riiuile dans le second qnclqiie soil le 

 iioinbre k de|)iiis /i=o jus(|u'a /=(X; comnie ccla doit elre. 

 i3. On pourrail vtirider de la meine inanierc requatioii pour loute 



autre valour de I'arc ; en gf-nth-al si on suppose 0= — • , la se'- 



ric sera composee d'un nonibre indefini de periodes dont la somrae 

 de cliacun est Mullc. Pour simplificr supposous que chaque periode 

 n'cst coinposee <[ue de 4 lerines rcpresenles par les leltres a , l> , 

 c , d on aura d'aprcs les remarques precedenles. 



* j -<-«-4-Z'-4-c-t- etc. 



1 ^a-i-b-^ etc. 



( -H«-l- etc. 



or quelle que soil parmis les letlres a , h , c , d , celle qu'on voudra 

 supposer occuper le dernier lerme de la st'rie , il est clair qu'a 

 parlir de la quatrieme colonne inclusivement, elles seront toute* 



luilles a I iiilini, c est-a-dire qu on aura o = . 



Le nombre 4 designant ici le nombre des termes de chaque 

 periode , un nombre quelconque de termes Ji de la serie pourra 

 elre represente' par I'expression ,\f,-\-tj:=.h , dans laquelle q pourra 

 etre e'gal a i , 2 ou 3 ; or si on designe par S', S", S"' la somme 

 de la serie relative a ces trois suppositions il est clair qu'on aura 



S'=za , S"—a-irb , S"'z=a^b+C , 



et la disposition de ces suites montre asscz qu'on aura toujours 



S ^ , 



ce qui est le theoreme connu de D. BiiRNOuiLi.i. 



Ces remarfjues font assez voir pourquoi pour obtenir I'expression 

 dc la somme a I'inlini d'une serie ( expression qui se change en 



