a4^ SUR I.ES FRACTIONS EXPONENTIELbES 



or si on suppose /t infini lellemeiit que h=ff^i=h^2 , on auri 



(j")*=o , a cause que dans cede supposition le iiombre h ne peut 



pas etre cense pair , ou impair ( Eulcri inslilulioties culculi dif- 



ferentialis Ticini 1787 T. 2 pag. 4"' )> *' •^" '^ *"■' qu on aura 



pour la fraction ge'neratrice de la serie proposee. En operant 



consequemment sur la serie , il est facile de s'assurer que les 

 deux membres de I'equation precedente coincident toujours en- 

 semble. 



Supposons d'abord .r=! on aura la serie 

 I-4-I-4-I-4-1-J- etc. ; 

 cetie serie consideree indefiniment lend vers I'infini car on a ici 



I — f.r)* o 1 > 1 I'l •, ■ — » 

 ^^ — :— = - , u ou par les reclcs connues on d^duit =00 ; 



I X O ' ^ 1 



mais pour savoir si cette somme consideree comme fonclion gene- 

 ratrice est encore infinie on n'a qu'a supposer h=.hdzi^=h^2 , 

 alors designant cette somme par S on pourra ecrire 



iS'= I -f- 1 -+- 1 -1- 1 -J- 1 -4- e Ic . 



5=: i_|_i_f-i_(-i_|_ etc. ; 

 de-la retranchant ces deux expressions I'une de I'autre on aura 



S — ^=1:5::= -, comme on I'obtient de la fraction . 



O I X 



Si on suppose or^a on a la serie 



i-t-2-)-4-H8-+-i6-t-33-(- etc. , 

 laquelle consideree indefiniment tend vers I'infini puisque 



I— f'2')'* . r ' f 



^ ■ =00 ; cependant pour avoir la valeur de la fraction gene- 



ratrice on fera 



5=:i-+-2-H4-l-8-+-i6-+-32-t- etc. 



5= i-+-2-»'4-+-8-+-i6-t- etc. ; 



retranchant ces deux expressions Tune de I'autre on a I'equation 



o=n-i-t-2-h4-t-8-|-iG-t- etc. :=n-5 , 



c'est-a-dire S-^ — i i:ouimc on I'obtient de la fraction . ea 



I X 



faisaut x=2. 



