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 Per lanto con facile calcolo avremo le 



2x'i y'l = y^Xi -f- x,!/, , 2x\y't = yapc, — re,?/, . 



Quests formole stuLiliscono una dipcndcnza fra Ic soluzioni cho mediante due 

 spezzamenti di s si ottengono solo dalle (/c,), e quelle che si ottengono, me- 

 diante gli spezzamenti stessi, anche dalle (A:^). 

 6." I piodotti 



ossendo, per quello si 6 dimostrato nel 2.° corollario, divisibili ognuno per 12, 

 saranno i binomi 



j/iX-i -+- a;2^ I > yzx^ — x^yi 



divisibili ambedue per 24. 

 7." I prodotti 



a,h, , a2^2 ) «3&3 > • • • 



sono sempre pari, e percio i valori della ij , saranno sempre divisibili per 4; 

 bene inleso che la z sia imparl. 



8." I valori numeric! della x, y non compresi nelle {k^) , ma solo nelle 

 (fcj) ed il valore numerico della z, sono numeri non primi fra loro. 



9." Per quello dimostrammo al §. Vil della precedente nota (*) , la z 

 sara un prime della forma in -4-1, od uo prodotto di primi ciascuno della 

 forma stessa, quante volte nella proposta {k^), le x, y, z non abbiamo in co- 

 mune alcun fattore. Questa proprieta, coll'altra del 3." corollario, non e molto 

 furono enunciate senza piii dal sig. Liouville, nell' Accademia delle scienze di 

 Parigi (**). Concludiatno pertanto, che, x, y, z essendo primi fra loro, potra 

 sempre la proposta risolversi, quante volte sia z un prime della forma 4n 4- 1, 

 od un prodotto di primi della forma stessa. 



10.° Se X, y, z sieno primi fra loro, i numeri 3, 4, 3, concorreranno 

 come fattori a produrre od a; , od »/ ; od anche distribuendosi fra x ed y; 

 mentre la z , o non conterra veruno di questi fattori , o conterri solamente 

 il 5. Quindi e che x, y, z essendo primi fra loro, il maggiore z dei numeri 

 stessi non sara divisibile ne per 3, nh per 4. Tutto cio discende facilmente dalla 



(•) Vedi Raccolla scientifica, an. 1849. T. V, pag. 2G3 e seg. pag. 313 e seg. 

 (•*) Comples rcndus. Vol. 28, p. 687. 



