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D' altronde se X , Y sono le coordinate del centro del circolo osculaloie 

 in {x , y) , si ha 



(x_x).-+-(y- y)' = (X - x,)»-+- (y_y,)., 



ovvero 



(1) x« — 2x A -H v> — 2y y = X,' - 2x, X -Hy," — 1y^ Y. 



Come & nolo per h X , Y abbiamo 



(g' - 6') x» (g' - fc ')!/' 



A= , 1= — , 



g* 6* 



e tutto si ridurr^ a determinare i valori di x , y, espressi per x^ , y^. Om 

 ci possiamo giungere facilmente nel modo seguente. 

 Facciamu use dalle coordinule sferiche> e poniaino 



x = a cos 9 , y = b sen 9 , x, = cos u , yi=b sen «, 



la (1) dopo la sostituziune dei valori d\ X , Y diviene 



o^ (3 sen' f — 1 — cos' u — 2 sen u sen' y -h 2 cos u cos' ?) 



= 6* (1 — 3 cos' 9 -+- sen' u — jsen « sen' 9 ■+■ ,cos u cos' p), 



I valori di 9, che verificano quest' equazione, sono quei, che risolvono 

 il problema, ad eccezione pero di <p = u. Cid posto b noto dalle formoie della 

 trisezione dell' angolo, che se si prenda 



3? = M, 39=27t-+-«, 3p = 2n — w, 



si avra sempre 



4 sen' 9 — 3 sen 9 = son u , 4 cos' ? — 3 cos 9 = cos u. 



Sostituiti per tanto i valori di sen u , cos u nella precedente equazione, 

 resta essa vcrilicatn; pcrcio il proposto problema si riduce evidentemcnte al 

 problema della trisezione di un angolo. Sostiluiamo in fine nelle due formoie 

 trigonometriche 



