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 5." Da ultimo sc abbiasi 



ed inoltre jJ. sia pari, la :: non saia spczzabile alTatto ia due quadrati. 



Dopo queste bicvi osservazioni suUa possibilita dell'indicato spezzamento 

 di z, chiaro appariscc che fallo 



il numero dcgli spczzamenti di P, ciascuno in due quadrati , sara quello 

 stesso degli spczzamenti simili di z. Percio nel procedcre alia dimoslrazione 

 delle indicate formule, prenderemo a considerare solamente il prodotto P. 



II numero dei divisori tutli di questo prodotto, compresovi esso , e la 

 unita, viene dalla 



N = (« -H lX/3 ■+■ '0(7 -4- 1) ....(- 4- 1) (♦}. 



Da questo numero volendo passare all'altro N', delle diverse decomposizioni 

 del prodotto medesimo in due fattori ciascuna, come A'B' , A", B" ... , cosicche 



abbiasi 



P =. A'.B'=«A".B"=. .. . ; 



dovremo distinguere il caso nel quale per lo meno uno degli esponenti «, |S, 

 ■/,..., - sia impari, daU'altro in cui tutti gli esponenti medesimi sieno pari. 

 In ogni caso pero egli e cerlo che fra gli N divisori di P, oude uno qualun- 

 que A', possa concorrere alia indicata decomposizione, dovra essere accom- 



P 



pagnato dal suo complcmontano B'= -r-,. 



Ora considerando il primo caso, nel quale imo almeno degli esponenti 

 C(, /5, • ■ • e impari, vcdremo facilmente che sarii N pari; e che le cercate de- 

 composizioni si avranno tutte dai divisori di P, accoppiati due a due per 

 modo, che uno sia complementario dell'altro. In questo caso adunque il nu- 

 mero dei diversi modi, nei quali si potra decomporre P in due fattori, com- 

 presa fra qucsli la unita, verra dato dalla 



{■) Legendre. Tlieorie des nombres. Paris 1830. T, I. i). 7. — Uauss. Recherehes .\rilliini;li- 

 ques.. Paris 1807 p. 8. 5 18. 



