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Pel sccondo caso, date quesle uliime due somme, potremo stabilirele sepncnii 

 relnzioni 



A, — rt, rt, — I'll),, 15, =a, 6, -t- 6, a, , 



A, = a, n.-^- b, b^ , B, = a, b, — b^ a, , 

 dalle qiiali, per dctcrminare le Oi , i, , «, , &, , si ottengono le 



(3) 



( a, Oj 



A,-+-A, , B, -+-B. 



a, b. 



2 ' ' ^ 2 



A. — A, B, -B, 



Dunque data una qiialunque delle decomposizioni del prodotto P in due fatloii^ 

 diversi fra loro c della unita, ciascuno spezzabile in due quadrati, potremo col 

 mezzo dellc (1) trovare le due conispondenti somme di due quadrati ciascuna, 

 ed eguali al prodotto medesimo. Vicevetsa; data una qualunque delle (2), potre- 

 mo col mezzo delle (3) conoscere i due corrispondenti fattori di P , diversi 

 fra loro, e dalla unita, uno complementario dell' allro, e ciascuno spezzabile 

 in due quadrati. 



Non puo supporsi che fra le (2) una ve ne abbia priva delle corrispon- 

 dente decomposizion« di P, o viceversa; poiche allramente sarebbe incompletc-v 

 nel primo caso qiiesta decomposizione, e nel secondo sarebbe incompleto il 

 numero delle {'!). Similmcnle non puo supporsi che una delle (2) rifcriscasi 

 a piu decomposizioni di P, o pel contrario; poiche ambedue queste supposi- 

 zioni Venjjono contradelte dal principio dimostrato nella (IJ. Pertanlo conclu- 

 diamo a buon dirilto che il numero delle (2j uguagliar deve quello delle di- 

 verse decomposizioni appartenenti al prodoUo P, comprese o nel valoredilN' — I, 

 od in quello di N"— 2. 



Dunque avremo 



^ _ ,| ^ (5< -t- 1)'iS-f- 1) :'t -f- I) — 2 



_ 



ncl caso in cui uno per lo meiio dejii esponenli x , ^5, ... sia impari; e 



v' — 1 



{x^ 1X.?-+- 1)...(t-*-1)— 3 



2 



