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glia il numero delle soluzioni pure diverse appartenenti aJ una rispeltiva 

 specie. Pertanlo -volendo ridurrc i termini dello sviluppo di jj,' ad espriinerc 

 o^jiiiiiio rispellivamente il numero delle soluzioni, comprese le ripetute, spet- 

 lanli alle rispettive specie, fara d'uopo aumentarc quanto conviene, il valore 

 di alcuni, e diminuire di altretlanto quello degli allii, onde la somma di tnili 

 rimanjja sempre la slessa. 



Quindi possiamo intanto avvertire , che siccome le soluzioni della pro- 

 posta, pioprie della penultima ed ultima specie, sono lulte diverse fra loro , 

 lion includono cioe ripetizioni di sorta, sebbene ottenute mediante le (/;3), (A;); 

 percio i due ultimi termini dello sviluppo di v.",dovranno rispettivamenle egua- 

 )»liare i due ultimi dello sviluppo di ;:ji.'. Si otterra questa epuaglianza col di- 

 minuire di k'l*'' — 2.2*''' solo il penultimo termine (k — 1)2.2*-' del secou- 

 do sviluppo. Aumentando poi di altretlanto il primo termine 2'-' dello .s>i- 

 luppo stesso, avremo il numero Jii delle soluzioni tutte spettanti alia prima 

 specie, comprese cioe le ripetute fra le medesime; vale a dire sara 



n. = fc2*-^ 



IX. Ora passiamo a dimostrare alcune altre propriela spettanti alle solu- 

 zioni tutle della proposta, valendoci a questo fine del teorema di Fermat sulle 

 potenze prime degl'interi ('). Ricordiamo pertanto che se p rappresenti un pri- 

 mo, essendo o, b due qualunque inleri fra loro diversi, pel teorema indicato 

 avremo 



a" — a^=pq , (y — 6 = pq' 



essendo (/, q' due interi. Soltraggasi dalla prima di queste. nioltiplicata per 

 h , la seconda moltiplicata per a; quindi falto 



qb — q'a=a(), avremo ab(a'''' — ^''^ ')^='?'Q • Pongasi p = 2, 3, .">, 7 , 

 e si avranno dalla formula precedenle le 



ciie saranno tulte qiiantita intcre. 



Cio premcsso, prendendo una qualunque delle soluzioni dale in priiici- 

 pio, per cs. la prima soluzione di 4". specie, avremo 



t') I'.sirsklfi. Elcm. ili nLilumatiche comviilali %i» Volpicrili, parli' I. y. HO ltoin.i 18:18. 



