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ovvero. piu compcndiosanieiite, polremo anclie dire, die il numero slesso e 

 dalo dalla seniidiflTeienza fra la potenza 3*, e I'unita. 



Questa seconda espressione coincide con (jiiolla cho si ollienc, poiicndo 



i-' 



7=... =2 



nella seconda formula delle due, date dal celebrc Gauss (Disquisiliones ai'it- 

 hmeticae. Lipsiae 1801, p. 219) per asscpnarc il numero degli spezzamenli, 

 ognuno in due quadrati, di qualunque intero capace dello spezzameiito me- 

 desimo , e da me dimostrate nella prima sessione di quesl'anno. 



VIII. Nella niia prima nota su tale argomenlo (*) fu veduto, die ri.solvcrulo 

 la proposta per mezzo delle (Ai), (fc^), s'incontravano soluzioni ripctute; ora per 

 determinare il total numero /a'" delle medesime, si osservl che, u.' rappresen- 

 lando quello di tutte le soluzioni comprese le ripetute, abbiamo dalla stessa 



prima nota 



iji' = 2" *"' ; dunque sara /J.'" =i= ix' — ,a", 



ossia 



2-'-' — 3' -H 'I 



■"-'"= -2 • 



Inoltre abbiamo 



H' = 2'i*-) = (2 H- 2)*- = 2*-' H- (A— '\yr-\ 2 -f (^— 'X^"— '^J 2*-:. 2^ 



(k—i)(k—2)(k^S) 



-^ 123 ''^ ^~' ^ ■+-(*— 1)2. 2*- + 2*- . 



Ora si osservi che questi termini sono h di numero , e percio sono tanti 

 quante le diverse classi di soluzioni ilella proposta; cosi pure che la somma 

 dei termini stessi eguaglia il numero delle soluzioni tutte, comprese le ripe- 

 tute , apparlenenti alia proposta medesima; pero che, tranne 1' ultimo ter- 

 mine dcllo sviluppo stesso, niuno degli altri esprime il numero delle solu- 

 zioni tutte di una particolare classe , comprese cioe le ripetute, quando vi 

 abbiano luogo. Avviene il contrario nello sviluppo di fi" sopra esposto , nel 

 cjuale il numero dei termini eguaglia il numero delle specie; la somma dei 

 termini eguaglia il numero delle soluzioni diverse; e ciascuu termine egua- 



{^) Giornale arcadicu t. CXIX. Roma 1850. — Annali di M-i<-iuf malfmatichv e fisiche t. (. p. Ifio 

 I 1. Roma 18S0. 



