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liclie complete tli prima , c secoiula specie a moduli complementari : esso 

 corrispoiidc all'iiitcgialc diiplicato del sijj-. Lame, I'iportalo nel precedenle pa- 

 ragrafo, ed e facile fare il passa<jgio da uno alTallio. La raaggioc pane delle 

 foimolc stabilite, furono gia da me dimostrate nei scorsi anni, ed in parli- 

 colare nclle memorie del 1 839 e 1840 ed inserite nel giornale aicadico; ajj- 

 giungiamo ulie il citato teorema di Legendi'e si tiovava diniostralo in questa 

 {jiiisa fin dal i832 dal siff. J. Jacobi nel tomo 10 del {jiornale del sig. Crellc. 

 Se la medesima sostiluzione ellittico-polare si facesse nelia ricerca delia qua- 

 dratura deU'eliissoide, si giungerebbe alia determinazione di altii inteyrali de- 

 flnili dupiicati. E interessante di osservare che le nuove coordinate corrispon- 

 dono a due coni concentrici ; ponianio di fatti per le coordinate .v, i/, z di 

 UD punto qualunque 



.V = r sen ^"1/(1 — k'sen''6) , y = v cosi) cos (i, 5=!(' seni^ 1/^(1 — A'^scq^'w^ 



avremo primieramenle in forza della relazione /c" -t- k'^ = 1 , la equazione 



•■*•■' "i-y^ -^ ~^ = J"'' • 

 Che se eliminiamo successivamente gll angoli «, e li risulteranno le due equa- 



zioui 





i — A'sen li cos''i sen li 1 — /i''sen'i) cos'w sen'o) 



le quali appartengono a due coni concentrici di secondo grado : i valori adun* 

 que delle tre coordinate a;, )/, z di un punto qualunque dello spazio, saranno 

 dati dalla risoluzione delle Ire cquazioni, la prima delle tpiali apparliene ad 

 una sfera, e le ultimo due a due coni concentrici di secondo grado : in al- 

 tri termini un punto qualunque situato nello spazio potra esser considerato 

 come riutersezioiie di una sfeia, e di due coni concentrici di secondo grado. 

 Esse includono le coordinate elliuicbe del sig. liame riportate al parag. -V.° , 

 quando alle tre superficie del secondo grado dolale di ceniro, cioc all'ellis- 

 soide, e alle due iperboloidi confocali tutte, ed ortogonali si sostituiscano, la 

 sfera, e due coni di secondo grado assinlotici respettivamente a ciascuna delle 

 due iperboloidi : in questa guisa alle cquazioni riportate nel principio del 

 parag. 4.° si soslituiranno 



