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5." RitemUo clic «, t', w sieno i coseni degli arifjoli foimali dalla nor- 

 niale alia siipeilicic con i tre assi, si i: vedulo al i^arag. 2." die 



Alle variabili jf, v, ?(', e alle polari coordinate y, 5 si possono soslituire delle 

 aide coordinate elliltico-polari , e chc comprendono come caso particolare 

 (juclie del Sig. Lame: sieno A', k' due quantita frazionarie, e tali da ■vcrificare 

 A" -+- h'' = 1 ; di un piinto qualunque iiello spazio potra essere determinata 

 la posizione col fare 



M =asen u 1/(1 — A-'sen'ii) , u = cos y cos <p , rv = sen tp pA(1 — A'= sen's)); 



per esse si ha costantemente u'' ■+• v^ -f- ?o^ = 1. Cio posto indicando con 

 «', u' . . . c K, , ri . . . le derivate delle u, v .... relativamente alle variabili 

 &) , (i, si sa che all' elemento du dv dovremo sostituire il nuovo elemcuto 

 («, v' — 11 Vi)dfid'p , in modo che sara 



, , , . A'sen a senr^ cos (i 



u=acos ui/^(i — k sen (j^) , it, = — 



percio 



donde 



Ml V' U' Vi =• 



1/(1 — k"sen'^) 

 — sen wcos •} , v, = — cos w sen tp ; 



sen oo(A-" cos'<^ ■+■ k'^ cos' oo)i/"(1 — A" sen'w) 



1/(1 — A' sen'(/'ji/(l — A'^sen'oo) 



rr (A'cos'i -4- A'-cos'w)d'J di r rdudv 



JJwf] — A'sen'i') i/fl — k'senu)^^^^ w 



1/(1 — A'sen'ii) 1/(1 — A'sen'w) ^^ w 



Nel caso di una superficie chiusa, e di uniforme curvatura, il sccondo mem- 

 bro si ridiirra a 4~ : e nel pritno membro corrisponderanno 1 limiti ^ =0, 

 1^ = ^;:, -^=0 , 60 = 5?: per Tottava parte dell' estensione, donde sara evi- 

 dentemente 



fj. 



(k-cos'ip -\- A'^cos'wjdi) d(/> ;: 



1/(1 — k'scn'^'P) i/{\ — A^sen'cj) 2 



In questo integrale sta racchiuso il teorema di Legendre suUe funzioni cllit- 



