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La dipendenza chc ha rintegrale del primo membro da un iategrale rappre- 

 sentante un'area sferica di lajgio 1, fece chiamare questo secondo integrale 

 curvatura Male della superficie, come potremo dire che aU'elemento superfi- 



ciale d'S corrisponde rdemento — — della curvatura Male. So- 



1/(1 — ?r — V-) 



stituiamo di piu ai coseni ?«, v, lu le coordinate polari 



u = cos 5? , D = sen f cos 5 , w = sen p sen 5; 



percio per la differenziazione parziale, ricaviamo 



dw == — sen o dy, di; = — sea y sea 5 d5, 

 donde 



Nel caso di u::a superficie chiusa, e di uniforme curvatura, risultera eviden- 

 temente 



/>/> d'S ^ r> in f^ 271 



SSir-iJ. ""'*'"• 



ovvero 



d'S 



r-p U O 



= hn 



Se si chiami dj I'elemento della superficie sferica corrispondente aU'elemento 

 d'S , sara 



d(7 = sen 9 d? d5 , d'S = p' f dtr . 



Quest' ultima formola per la quadratura delle superficie curve e dovuta al 

 sig. Gauss, ed e facilissimo a dedursi da considerazionipuramente geometri- 

 che. Nolle diverse applicazioni che siam per esporre, avremo sempre a con- 

 froDtare la doppia eguaglianza 



>-^d'S /-/-frf — s')d.vdi/ fr. 



