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^ »' Va -f- a)lfc -t- a)(c -H u)te -<- a)/- 



■ ^')('' -*- >•)(« H- Aj(s: -H X)/ ' ' r V(a + ^)^fc .^ ^^^ _t_ ^^^j^^ _^ ^) 



Qiiesrc reqiiazione diftcrcnziale che devc sussistere fra le vaiiabili, o coordi- 

 nate cllittiche X , |x . ondc i valori dcllc coordinate x, y, ~ appaitengoiio ai 

 difl'erciiti piinli dclla linoa yeodesica descriUa suila supeificic di uu'ellissoi- 

 de. Inlegrando si avra in {jencralc 



rd,lA___i__ — _\= fd^l/"/ I wc, 



J f^ \a + b)(b-hl}{c-^X)ix-+-}.)) J '^r \(a-i- fj.)[b-h!J.)(c-^ix^{a:-h!J.)' ' 



ovc come ognuii vede, la relazione finita fra X, e ^^ dipende dagli integral! 

 Abelliani. E facile era di riconoscere come I'arco s della linea geodesica sia 

 ridotto ad una quadratura : infatli dall'equazione 



(X — ^)'yX) dX- (p. — X)= (pdx) iH-C 



« -+- X ds- « -t-/7. ds" ~'. ' 



avremo immcdiatamente per la sostituzione del valori di ^(X) , y/pi) la doppia 

 espressione 



_ r (X— /^)|/'X. dX r - {p.—hl/'lJ.xhj. 



^ \^(a -+- l](b H- \)[c H- X)((z H- X) ' ^^ "" ~ J V (aH-a)(''-l-/-'-)(c-l-X)(«-i-X) ' 



L'arco s della linea geodesica si puo cgualmente far diperidere da due inte- 

 gral! Abelliani, i quali contengono separatamente le variabili X, F-. Si ripren- 

 da infatti il valore di ds" ottenuto alia fine del parag. 2." e ponendo in essa 

 per brevita 



A(X) = i/-(„ _t- X)(6 -H X):c -+- X)(« -t- X) 



avremo coll'indicare per A'(X) il quadrato di A(X) 



LAf~ - ¥ - l-^C" + ^) d^^ t- ^^^ ~ ^'^°^ -^ ^^ da- ■ 



A'(X) • A'iix) ' ' ■ . 



la quale puo meltersi sotto la forma 



I.I 



2s= 



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od anche 



