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u , • , • A(ft — 1)(/c — 2) , , , 



iiioposta: che nel terzo sislema la Z\ cannia-^ — ^ volte , dando 



1. '2. 3. 



luojTo ad iin egiial numero di (p'uppi, ognuno dci quali con 2" soluzioni della 



proposla : e cosi sino airultimo e A'csimo. sistema, nel quale la z^ riceve il solo 



valore z, da cui nascera un solo gruppo, composto di 2''' soluzioni dclla pro- 



posta, e tultc di ultima specie ; vale a dire ognuna foimala di due numeri 



primi fra loro. 



Gli enunciati 1.°, 2.°, 3.°, 4." costituiscono il canonc per la complela 

 soluzione numerica dclla proposla 



Osscrvazione. L'equazione 2" =2a;~ si costruisce, sia per mezzo del trian- 

 golo rettangolo isoscele, avente z per ipotenusa, ed x per Tunc e I'altro ca- 



teto; sia per mezzo di una media geometrica proporzionale a;, fra z^e -—. Ma 



l'equazione medesima non puo risolversi per numeri esattamcnte, giacchc |/2 



e irrazionale. Quindi si conclude che un quadrato non puo naai giustaraeute 



spezzarsi nella somma di due altri eguali fra loro. Sara utile riconoscere che 



le formule da noi date per la generale soluzione in interi della .v'"-l-j/' = z- 



conducono pci medesimi alia stessa conseguenza. 



Infatti suppongasi I' inlero z essere della forma piu generale che puo 



convenirgli, cioe 



z c= A,«A/ . . . hr , 



essendo hi , ft,, ... ft, tulti numeri primi, e della forma 4n-+-1; ed essendo 

 or, /3, . . . , 7 esponenti, ognuno intero. Per le precedenti conclusioni chiaro 

 appari.sce che rappresentando con A^,' -I- Bj' lo spezzamento in due quadrali 

 di un qualunque prodotto binario, ternario, ecc. dei fattori /t, , /i^, . . . , ogni 

 soluzione della proposta potra esprimersi a questo mode 



X =»= M(A„= — B„=) , y = 2MA„Ba, , 

 essendo M un opportuno prodotto dei fattori medesimi. Ora supponiamo che 

 fra le soluzioni stesse ve ne abbia per lo meno una, formata di due quadrati 



eguali; sara 



.V = 1/ , ossia M(A»,' — Bo,') = 2MA«B„ , 

 vale a dire 



A„' — 2B„A<- — B^'- = 



donde A„ = Ba (1 z!z 1/ 2), quindi x =• y'= 2MB„^ (1 ±: [/ 2) ; 



e perci6 le x, y saranno irrazioaali ambedue. 



Torna dunque che non potra inai conseguirsi lo spezzamento di un in- 

 tero quadrato, in altri due interi quadrati, e fra loro eguali. 



