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d? 1 r ,dM dQ> dfn 



Q 



dp 1 r ,dN dQ^ , ^d?l 



(50) <; d., " Q L ^d^ ~ d7^ d^*J ' 



dz '^ Q L ^^dw dz ) diJ ■ 



Soslilueudo questi valori nella secoada e quarla delle (49), aviemo le 



(51) 



J 



dP dQ dQ dM „di\I d_P _ 



d« (iz dx du dz dx ' 



,,dP ^,dQ dQ dN ^dN dP 



dtt dz dy (lu dz dy 



e falte le sostitiizioni medesime uella prima delle slesse (4'Jj, otterremo 



_dM ^dN „dM ^dQ ^dN ,dQ ^ 

 dy dx du ax du dy 



Si moltiplichi la prima di quesle per N, la scconda per M, la lerza per P , 

 e dalla somma degli ullimi due prodotti venga sottratto il primo; se divide- 

 remo per Q il risultamento cosi ottenuto, avremo la 



dN dP ,clP dM dM dN 



52 M-, M— -^ N- Ni- -i- P:; P:^ =- 0; 



' dz dy dx dz dy dx 



laonde nelie (51) , (52) si siproducoao identicamenle le condizioni (XL VII): 

 Duuque le (40) coiilengono quanlo i>i riferisce alia integrabilita della pro- 

 posta. Paragonando i termini delle codizioni (XL VII) con quei della proposta, 

 rileveremo, che per la sua integrabilita possono aversi quattro sistemi, ognu- 

 no composto in modo facile a riconoscere, di tre condizioni, od equazioni , 

 e riducibile con breve calcolo al .sistema (XLVII). Inoltre la formazione di 

 uno qualunque di tali sislemi, nasce dalla scelta di quello fra i quattro coef- 

 ficienti M, N, P, Q della proposta , che deve trovarsi due volte ripetuto in 

 ognuna delle tre condizioni, che compongono il sistema stesso; cosi nel sistema 

 (XLVII), il coefliciente P e quello che trovasi due volte ripetuto in ognuna 



