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 e percio il difTcrenzialc dclla espressiouc prima, preso rispctto ad .v, sara 



dx dy 



Rla qucsla formula, per ipotcsi, c nulla; percio la prima delle prccedenti due 

 binomiali espressioni, dillerenziata rispelto ad .v, fornisco un risuUamenlo nullo; 

 duiique noil puo essa contenere la .v. Similmente ragionarido si pro vera, che 

 la seconda deU'espressioni medesime non puo contenere la y. 



2.° Vediamo secondariamente come le (VI), gia stabilite per assicurare 

 die una funzione diUcrenziale di qualunque numero di variabili, e di qua- 

 lunquc ordine, abbia il sue primo inteyrale , forniscano le condizioni per la 

 integrabilila di una equazione difterenziale di prim'ordine, fra le quattro va- 

 riabili X, I/, z, u. Sia data pertanto la 



(40) V — Md.v -+- Ndi/ -1- Pdx _H Qdu = ; 



riHeltendo che la V per ipotesi e diflferenziale di prim'ordine fra le quattro 

 indicate variabili, dovremo nelle (VI) porre n •=> i , ed anche 



da = X, , do = 2/, , dy = 2, , do = ic, , 



percio le (VI) medesime si ridurranno alle quattro seguenii 

 dV „dV, „ dV ,,dVN 



d-x-'(d7)-'^ di--%h'^ 



dV ,/dV^ dV ,/dV. „ 



d— =0, d— =0, 



dz \dzj du ^dtii' 



dovendo il numero loro essere quello stesso delle variabili. 



Rappresentiamo con y uo fattore funzione delle x , j/ , z , (4 , capace a 

 rendere la V esatta difterenziale; quindi siccome V supponesi ora di prim'or- 

 dine, cosi o sara una funzione primitiva, e dovremo nelle precedenli poire 

 9V in vece di V; percio avremo 



