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 Sia data la funzionc difTcrcnzialc di second'ordiac 



(28) Ad'y -+■ Bdy -f- Cdy'-'di -f- Dd;/-' dx' -t h Hdas- , 



fra Ic variabili .v, y; nella quale supponiamo, dx costantc , A funzione delle 

 X, y, d.v, dij , e B, C, D, ... , H altrettante funzioni delle x, y. Per delermi- 

 nare le condizioni d'inlcjjrabilila in queslo caso, poniaino 



di; = pdx , sara d'y = dpdx ; 



quindi la proposta si ridurra nella 



udpdx"-' -t-B/r'dx' -(- Cp"-'dx' -+- Dp-'dx- -+•...-+- IId.v' , 



ossia nella 



(29) (udp -Hodxjd.V- , 



essendo « funzione delle x, i/, /), cd essendo 



p = B;/' -+- Cp'-' -H Dp"-' -4- . . . + II . 

 E{jli e chiaro che dovra cssere 



(30) udp -t- c dx = dij. , 

 riguardando [/. qual funzione delle x, j/, p; percio avremo 



d,a da 



— = cu , quindi -- dp = codp ; 



dp dp ' 



ed inte{jiando, col supporre le .v, y ambedue coslanti, avremo 



H- =p' dp ■+- X(a:, y) • 



Abbiamo inoUre 



da , da , d;j. 



dp. = ^ dp -h -r- dx ■+■ — di/ 

 dp dx dy 



fd'J , rdi) , d/ d/ 



= '.dp^-dxj^^dp+dvj-j-dp-^~dx ^-dv, 



laonde, paragonando con la (30), avremo 



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