DELLA MECCAMCA RAZIONAI.E ED APPEICATA. S2S 



Su I. 



E LINEE TAUTOCBO.NE. 



Sn lalo argomcnlo si liaiiiio iiiollc MeTiioiie di liuli'io, ilui- ili Laf;ran"o. allrc 

 di D'Ak'iiibert, Giovanni Bernoulli, e fra Ic rcconti pioduzioni ricordero qni'lle 

 dci cliiaiissimi gconiclii Pniscux c IJcrtrand. K pregiata una fomiola di Lagrange, 

 la (|iial(' asscgna alia potcnza p, molrice sccondo la ditczionc della curva s, alia 

 a pioduiTc il tautocronismo la forma ;; = -— I'^ij] — j{j . csscndo u la vc- 

 locita del mobile, /f.s) talc fiinzioncdi s chc f{0) — 0, (l,.f(s) i-finilopor s = 0; 

 c ^ V. alTalto aibilraiia. Se poniamo u = if la cqnazione del mole ud,u =p 



diviene i' '-£ f[s) = — v'(^[r), c volcndosi T =z i — = — j-^rTTTT '''" indiprn- 

 dcnle da ;/, dovrcbbe la cquazione j^f{s) — — i'9(i) soddisfare tale eondi- 



zionc scnza punto limitare la natura dclle funzioni /" c cp : del elie non mi so 

 convincere. Ma il pioblenia si lisolvc speditamenle per modo di disimpegnarsi 

 dalla intcgrazionc , con niolta gcncralila , c senza bisogno di lieercali calcoli : 

 siano per csempio i{/,(s,a), ■\^[s,a).... lantc funzioni clie si annullano per s — Q 

 ed s = a, quale e s"'(s — a)" ij/(s,a) : siano 9, (".<), Oofs) .... altreltanlc fun- 

 zioni chc per s = cd s^a non divcngano inlinite: e X'.t.a) talc elie 

 X(n, a) = X(0, a): indiebiamo con .(,, i?, ; .).,, Ji. lanle coslanti arbitrarie 



c forniiamo la somnia |,.(s, a) -+- A, |^-^sJ + ^r = ,"t • Poniamo linalmcn- 



le — = (7/, F([jL, , [i.,, jji^ ....) + X(s, a) I cssendo F segno di funzione lolalniente 



arbitraria , ed avremo T — F{A,-h B,, A.2+ Ha — ) — F(B, , B^ ....) . Se si 



vuole h r= Ang . sen - „ ..) y.,-, si avra una sonizione parlicolarissmia one com- 



prcndc il caso ancora piu parlicolarc in cui ;p(s) = s . Sc volendo poi che 



da una funzione T= f (f[s, a)(h sparisca a indipcndcnlemenle dalla inlcgra- 



zione, falto s = ay perche r= f ao(ar, aj.f/y non implichi \'a, vedianm 



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dover cssere fl9(ar , a) = <\t{v) , qualunquc sia ■}, per cui o's, n) = - -y ( j| , 

 Tzn r jifr) (Iv. Mapossiamocomporrealtre formolegenerali analoglie alia prima 

 ehe ho superiormenle indicala, inlroducendo funzioni die per s = , s =1(1 di- 

 vengano infinite. 



