?io(; NOTE ciiF. Ri?(;rAnnvNO ai.cim argome.nti 



Sc r.I.I INTKCIIALI COMIM A JIOI.TI PROBLEMl DI MECCAMCA. 



All' illiisliT gcomctra sij;. IJoilrand si dovono il pciisicro di (|urslo imovo p:e- 

 iicie cli iiilcrossaiili (iiicslioni ed iiigrgiiose risoliizioiii di alcinic. In ([uosta Kola 

 csaniino il prinio problcnia del sig. Berlrand , c la gciicralc risoluzioiic da nic 

 coiiscgiiila diinoslra die i lisidlali ciii giiingc il dislinlo gconiclra non sono, 

 ([iiali liii giudico, «/cs seiilcs intcgralcs qui ponvivniicnl ii pliisieurs problhms 

 ■■ tlilJiTcnls reldlifs an mouvcmcnl d'un point libra ildiis n7i plan '■> (Giornalo di 

 I.iouville, 1832, Tom. 17, pag. 13C). 



Un puiilo si nuiova in uii piano: dopo iin tempo i siano x,y le coordinalc 

 orlogonali elie ne delerminano la posizionc : X, Y le componcnti secondo gli 

 assi coordinati della forza acceleratricc, la quale non dipenda dalla vcloeila del 

 punlo. Indicando cogli apici di Lagrange le dcrivate rispetto al tempo, le e(ina- 

 zioiii del moto sono 



x" = X , y" = }' . 



Sia !p(x, y, x', y') = a eostante: iin inlegralc piiino del problema, pereiii YJ- = — • , 

 oppure -? = : Sara idcniicamente 



'Il + 'hx'+ '^>)' + ^ A' + ^ )- = 

 (\l iix A\jJ (Ix (I 'I 



c saranno pure identicamenle soddisfaltc le scguenti eqiiazioni che si deducono 

 da qiiesia dilTerenziandola parzialmente rispetto ad x', y'; cioe 



(ix "^ dx ix' ■■' "^ dij dx' 'J "*" ~in'- '^ '^ WdJ ' ~~ " 



a;i dx dij dij dij J dx dij dij - 



Da ciii si Iraggono 



Yll + £^ x'+ J^SL. „'fe _ Vh + ^* ^'+ t^ n'^~^ + }-<^ ''""^ - ^ . '''!-' - 

 \dx^ dxdx'-^^ dydx'y ]dx' [dl dx"^ ^ dij'J \ dx'- ^ ^ {dx' ' dx dif dij' rfi'M "" 



\dii dxdy"^ ^ d,jd,j''J yUj' \dl^ dx'^^ dy'J ] dy"- '^ [d,j' dx' dy' dx' 11,/'')-^ 



dv ^ didif^^ dijd,j' y )dx' [dt dx^^ dyV \dx'd,j' ^' \dx' dij"- ~ 1^ 'dFd^\ - ^' 



Affinchc queste equazioni abbraceino tutti i problenii cni compete lo stesso iii- 

 tegrale o(x, y, x', y\ t) =: a . devono sussislere iiidipendenlcmente dalle 



