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 Teorema generalissimo di Geometria analitica, e serie rimarche- 

 voli della semicirconferenza. — Memoria del D\ Annibale de Gasparis. 



Ne' num. 19,20 e 21 Comptcs remlus del rseraetr^ 1848 sono rìporlall diversi 

 teoremi de' ctleLri Malemalici Ch:isles e Caucliy relativi alle coniche e poligoni 

 regolari, nel centro delle quali figure suppongono essere situata una rom de venti , 

 cioè un sistema di rette che passano per tal centro, e fanno angoli successivamente e- 

 guali luna con 1' altra. Ora è a sapere che io nella fine del 18'i6 ho comunicato alia 

 R. Accademia delle scienze di Parigi un teorema di Geometria analitica di una gran- 

 dissima generalità, e nel quale supponeva disposti de' rami di curve algebriche attor- 

 no ai raggi di una rosa dcvcnli in maniera a formare un tutto perfettamente simmetri- 

 co. Questo mio teorema è stato annunziato nel numero 082 dell' Inxtilut , e nel nu- 

 mero 4 Compiei Ucndus At\ 1° semestre 1847. Applicando il risultato generale di 

 questo teorema al caso di un poligono regolare , mi è riuscito di ottenere parecchie 

 serie in funzione della semicirconferenza e d' un angolo arbitrario , assai rimarche- 

 voli. - Or come i prelodati matematici hanno taciuto le dimostrazioni de' loro teore- 

 ni , e d' altra parte le serie in cui sono incorso contengono il principio fecondo che 

 li dimostra tutti , cosi in questa memoria riporterò primamente il teorema generale, 

 poi dimostrerò le serie che ne sorgono per la speciale applicazione di esso teorema 

 ai poligoni regolari, sceglierò quindi alcuni de'teoremi piìi rimarchevoli dello Chas- 

 les dimostrandoli colle formole prima esposte , ed infine riporterò qualche mio teo- 

 rema che dipende da principj medesimi . Nello scrivere questa memoria avrei desi- 

 derato tener presente 1' aptrr.u hislorique opera pregevolissima del sig. Chasles , a 

 cui questi richiama enunciando i suoi teoremi . Ma son portalo a credere, che le 

 formole le quali lo hanno condotto allo scoprimento di quelle veriti , non siano le 

 stesse che esporrò in questo scritto, ed eccone il perchè. Il sig. Chasles mette 1' e- 

 Dunciato del seguente Teorema : » Se pel centro di una conica si fa girare una rosa de 

 venti di n diametri che incontrino la conica in altrettanti punti , la somma delle poten- 

 ze 2m de valori inversi de' diametri sarti costante ,purc/ic sia ni<^n. Kgli tace la dimo- 

 strazione di questo teorema , a me è riuscito esibirla mercè le serie in parola , ed 

 anzi servendomi dello stesso principio sono riuscito n scoprire il seguente teorema 

 piìi generale f< Ove l equazione di una curva sia omogenea per rispetto agli esponenti 

 delle variabili , ed attorno air origine delle coordinale si faccia rotare una rosa de' venti 

 di n raggi che incontrino la curva in altrettanti punti, la somma delle potenze m ('•-[-(/) 

 dei valoiiinversi di tali raggi terminati alla curva sarà costante, parchi: ni ('■-f-i/)<H 

 in cui r -\- q indica la somtna degli esponenti delle variabili . Or come a me nulla e 

 costato di passare dall'uno all' altro teorema , lo slesso principio valendo per cntraoi- 

 bi, cosi mi pare impossibile che que sommi uomini non abbiano fatto lo stesso pas- 



