2Ti 

 dalla quale si ricava eTidcnlcmcnlc 



2mir 2mff /imir /imir 2m (n — 1) 2w (n — 1) 



e z= scn cos 1- sen cos—— ..,, $en ■ ■ le cos ^^ ^ 



Il u n n n n 



Iiiianlo iicir equazione (9) soslilueodo successivamente 1 — cos' <f a scii'f , e 1 — 



si}i'<f a c04'<f avremo le due 



n 'Imv , hmir (jmir 2 7n ( n — ] ) v 



1=coji' ireos — +cos' . . . -f cos i i — 



2 n n n n 



n Imr hniv (jhìT 2 m ( n — 1)* ' 



—- =:scn i-sr.n -fscn" • . • J-scm' — 



*2 a » B tt 



§ 5. 



Or qui è il luogo eli rendere ragione del percliè queste due uliimc equazioni 

 siano in difetto pel caso di m = n , o di /k = j ?i e cosi rimarrà giustiCcata anche 

 la prima dclT equazioni (6). 



Si rifletta dunque che il porre m = n equivale a dividere m circonferenze ia 

 in parti. Quindi 1' arco che sottenderà il lato del poligono diverrà una circonfe- 

 renza intera , ed in la! caso il poligono regolare diverrà di un lato , e ridotto ad 

 un punto , se pur ai' è lecito di esprimermi cosi . Quindi delle perpendicolari 

 abbassate dal punto preso arbitrariamente, sui lati del poligono , non sarà ora per- 

 messo di prendere la funzione simmetrica neppure al primo grado , e questa rifles- 

 sione valga ancora per 1' equazione (G) . Inoltre r ipolesi di m = jn equivale a 

 dividere m circonferenze in 2m parti , onde il poligono , presentemente rappresenta- 

 lo dal diametro, diverrà di due lati . Quindi la funzione simmetrica delle distanze 

 in discorso non potrà oltrepassare il 1° grado , ed è per questa ragione che le 

 equazioni (10) non debbono rimaner verificale dall' ipotesi m = i n . 



Di pili potrebbe sembrare a prima vista che m , el n avessero bisogno di due 

 determinazioni allorché è precedentemente fissato un rapporto tra esse . Ma è 

 facile convincersi che supposto n = pm , già vien deciso il numero delle parti in 

 cui una o piti circonferenze sono stale divise , e quindi n non è piìi arbitrario . Co- 

 si si è visto che 1" ipotesi n = 2 »j equivale all' iscrizione di un poligono regolare di 

 due lati rappresentato dal diametro , onde si avrebbe » =: 2 , m = 1 . Tuli' al più si 

 potrebbero prendere de' numeri pari per « perchè il poligono restasse chiuso , ed 

 in tal caso crescerebbe proporzionalmente m , cioè il numero de' giri che il po- 

 ligono dovrebbe fare per chiudersi . Lo stesso valga per n =zpm in cui n = p 

 o a dei multipli di p . Quindi apparisce che le serie fin ora date possono 



^ . ,. ,2m(n— 1) 



non arxcslarsi al termine io cui il coeUiCKote di ff e ma crescere 



