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TROPOSIZIONE II,. 



T&OnEM\. 



§. 2. Poste le medesime cose del teorema precedente , le radicii 

 reali dell' equazione li non possono esser da meno , che le inlercelte' 

 PiM , PM' , PM" . . . [fg.^ì 



Cioè il numero di quelle iiicideuli non può esser roinpre del numero delle ra. 

 dici reali ed ineguali dell' anzidetta equazione (1). 



Di». Le radici reali dell' equazione Ti sieno dinotale per le grandezze r^y.... 

 di cui r sia la minima , e le altre poi vadan crescendo secondo 1" ordine assegnalo . 

 Ciò posto, il calcolo che s' istituisce per delerminare cìaseuna delle intcrcetle PM , 

 rivi', PM" ... vien sempre guidalo da'tnedesimi principii, e con gli slessi arlifiji ; 

 ed in ciascuno di tali casi ne mena ad -uaa medesima equazione , dello slesso grado- 

 di quello della curva ( prop.prec.) ; e le radici dell' equazione B, cioè le r, r', /'. .. 

 disegneranno i valori delle iniercelte PM, PM', PM".... Imperocché applicando dal 

 punto P e nella curva data lina retta uguale ad r, questa dovrà comprendere cqip 

 l assePR uo angolo uguale, al dato. Ed applicifndovi nel modo stesso un' altra retta 

 uguale ad ;•' , ancor questa dovrà costituire, nel punto P uo angolo uguale al da-t 

 lo , venendo però distesa sulla precedente , com' è la PM' sulla PM , e cosi delt 

 le altre. Laonde le r, »•', r" ... sono soddisfacenti all' equazione B, e dinotano i va-, 

 lori delle inlcrcelle PM,PM', PM"... ; e perciò quante sono le radici reali ed ine- 

 guali dell' equazione B, tante sono pure le divisate inlercette PM, PM', PM" ... 



§.3. Cor. 1. Se Ira le radici reali dell'equazione B se ne incontrassero due tra 

 se uguali, per esemplo p= »', nel punto estremo M' dell' intercetta PM', che espri- 

 mesi per r' dovrà la detta curva avere nn >ioio,qual si vede nel ramoMm M';n' (^fig.2.\ 

 E vi sarebbero due nodi, se tre radici uguali osservinslia quella equazione; e cosi 

 piìi oltre. 



C. 4, Con. 2. Dunque le radici dell' equazione B , quando questa uè abbia del- 



(1) La dimoslraziane cho qui diamo serve ad illustrare 1' altro passaggio della dimostra- 

 lione del Newtun , io cni si dice: Nam si inttrsccliones illae seorsim quacrantur , quo- ■ 

 niam eadem est omnium lex et eonditio , idem erit calcului in casu unoquoque , et prò- 

 plerea tadem semper conclusi o , quae igitur debet omnes intersectione$ simul .cnmplecti , et 

 iniiffcTtnter exhibere . La qual verità rende ragione della dilTerciiza di gradi delle cquazio- 

 zioni a' problemi , ne stnbiliscc la natura , dà quella do' luoghi geometrici per costruirli ; 

 e ronde ragictic della impossibilità di poter generalmente costruire circino el regula il pro- 

 Mema della irisczion: angolare , ed ancor 1' altrj della duplicasioM del cubo. 



