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 te quattro funzioni arliilrarìe , due appartenenti al moltiplicatore , e due al- 

 l' equazione dill'crenziale . Mi è riuscito di legarle con tre equazioni , e di 

 far dipendere da equazioni di 1° grado e di primo ordine il problema di de- 

 terminare tre delle funzioni arbitrarie essendo data la qunrta. Non è indiffe- 

 rente scegliere a piacere una delle funzioni arbitrarie per determinare le altre 

 tre. A me è riuscito di farlo per due di tali funzioni , risolvendo il proble- 

 ma come lio detto. L'assegnare 1' una delle altre, mena a ricercbe piìi diffi- 

 cili , presentandosi a risolvere delle equazioni differenziali di 2° ordine. Aggiungo 

 infine delle considerazioni analoghe per una classe di equazioni differenziali che 

 hanno una certa somiglianza con quelle del Riccati . Che se poco posso dire 

 d' aver fatto, mi si voglia essere indulgenti vista la diiiìcollà della materia. 



§. 1. 



Sia proposta 1' equazione differenziale della forma 



dy _ Af + B xr + Ci-' + Dj -f Ejj -f- F 

 'dx ~ A'/'+ Wxy + C-o;' -+- D/+ YJx + F' 

 io questa è fatile farne sparire i termini noli , poiché facendo 



y s=: U -\- k X ■S2 V J^ h 



sì tratterà di determinare h e k in maniera che restino verificate le due equazioni 

 A A' 4- B kh -j- C /j' 4- D A- -f- E A -|- F = o 

 A7^' + B'Wi-f-C'A' -f D'A + E7j -f F' = o 



e cosi la proposta equazione può scriversi 



du A «'-f B My + C t)' -f D, « + E, w 



d" ~ A'Ti-^- B'wi; 4- C'i>' _i- D/u -f E/r * 

 Ciò fatto , si ponga ìi = z scn & v =z cos s, essendo z ef due nuove variabili, 

 r equazione precedente diventerà 



dz sci>(Z-\-zcos<fd<f (A sen(p -f- Bw)(pPos(p 4- C ro5'if);' -f ( D^senf -t-E, cosi^)t 

 dzcos<f—zsciiOJ^ {X'scn'f 4- B'scnfcos^ -\.C' cos'''f)i' -f-(D/w/(f ^E/cos!f)i 

 la quale dividendo i termini del primo membro per cos f d (^ , e sopprimendo il 

 fattore comune s nel secondo , sarà 



-— tg'f +~ ^^^ ^^^^, (f 4. B srn (^ cosf + Cc os' 1^) ? + P. seni^ 4. E, cos (fi 

 ~dz ~(A scn' <p -h B' SCIC <f. i:oiif + C'cus''f) z + D/j.c/-?' + E/coi-if 



. •'= . 



Da questa si può ricavare il valore di ~ ed aversi 



