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dimostrai, chc tiitto le soluzioni della {r^) si distingupvano in k' specie diverse 



, e (he quelle appaitenenti all' ultima di queste specie, venivano tuttc 



rappresciUate dalle scguenli formule 



riellc quali 1' indicc a. deve rieevere, uno dopo Taltro, i valori tutti compresi 

 dair 1 sino al v inclusivamente. Percio (in d' allora fu manil'eslo, che le foi-- 

 mule (r,j) fornivano soltanto alcune soluzioni dclla (r^,), e che il resto di esse 

 ottenevasi per altre formule. Le [r^^ sono le sole considerate, sia dagli antichi, 

 sia da'inodcmi (*), chc si occuparono in risolvere la [r^, od era noi licono- 

 sciarno die le stcssc (r,^) sono un caso particolare dolle nostre (r^), dimostrate 

 in principio. In fatti quelle da queste discendono, col porre 



A" = 2 , a = Ac< , /' = Ba , 



pci quali valoii la (ij) si riduce alia 



8.° Le soluzioni (r,), tranne Tultima [x^ , y^) delle mcdesime, tutte si com- 



pongono di due nunieri evidcntemcnte non primi ira loio; cd ora diniostrc- 



reuio che qucsta ultima invccc lisulta di numeii piimi fra loro, quantc volte 



«*-(-/>* sia un primo. A questo fine supponiamo, che oltre quelle prime soluzioni 



k 

 di numero — -1, ve nc sia un' altra, pur essa composta di due numcri mp, mq 



non primi fra loro; cosicche dalle 



('•„) x^mp, ij=mq, 



abbiasi la proposta (?•,) soddisfotta ; cioe sia 



(r,j) m«(;/ ^ q^) = (a^ -^ b^ = -J ; 



avremo 



m^- 



v' -+- </' 



Essendo »«* intero, dovra essere tale anchc il secondo membro di questa equa- 

 zione; ma poiche d^ -t- />^ viene supposto primo, cosi dovri verificarsi la 



rcstando n ^k. Dovra per tanto essere 



(') Coinptcs reailiw T. 28. p. 686, e 733. 



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