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1° AfTmche la proposla (r^) possa risolversi, egli k chiaro dalle prece- 

 denti dottvine, che dovia il nuinero s potersi ridurre nella somma di due qua- 

 diali. Ci6 vuol dire che dovra verificarsi la seguente condizione 



(»•„) J = 2^" S« /j", hi\ /i/, /r* , 



nella quale i fattori 



/(, , /(.^ , . . . , /i, , 



lappicsentano priini divers! fra loro, e della forma 4»i -4- 1 , ossia in - 3; il 

 f'attore S indica un piodotto di primi della forma in -+- 3 ossia In - I ; da 

 ultimo gli esponenti 



H, «, /3, ...., T 



esprimono interi, dei quali sara fJi = quando sia z impari. Sappiamo dalla 

 teorica dei numeri (Gauss), che verificata le [r^^], lo spezzamento del numern 

 3, in sommo ognuna di due quadrati, avviene sempre. 



8.° Essendo ^ pari (§. Ill), od anche nullo, ed inoltre 



« = /3 = 7 = .... = T=0, 



la proposla non avru soluzione di sorta ; perche il fattore S'^ non puo niai 

 ridursi nella somma di due quadrati. 



9.° Se il numero s sara tale, che gli spezzamenti suoi nella somma cia- 

 scuno di due quadrati, sicno tutti eomposti di numeri non primi fra loro, avra 

 luogo la condizione (Cjj) in guisa, che Tuno, o I'altro, od ambedue i fattori 

 2", S* dovranno trovarsi nella stessa ('"jj). 



10." Se il numero z sara tale , che gli spezzamenti suoi nelle somme di 

 due quadrati ognuna , si compongano parte di due numeri primi fra loro, e 

 parte di due numeri non primi fra loro, e chiaro, per Irf teorica dei numeri, 



che dovra essere 



fx = , S =; 1 , ■ cd -fth ncm) — ';'>!; 



quindi la condizione {r^^) si ridurra nella 



[^\^) z = h''^ h\ .... hu , *^^ 



" jm04 avremo 



X* -i- 1/* = /fj /i/3j /iVj hu ; 



cioe la somma x* -t- y^ non sara divisibile affatto in tal caso per un primo 

 della forma in -+- 3, ovvero Xn - 1 . Dunque sc due numeri x, y non abhiano 

 per fattore comunc un primo della forma ora indicala , neppure la somma 

 x'^ -+- y* dei loro quadrati avra quel fattore. 



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