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 SUR L'EXPRESSION ANALYTIQUE 



DE LA GENERATION DES SURFACES COURBES 

 PAR M.» MONGE 



u. 



ne équation en trois variables x, j, {, rapportée à trois 

 plans donnés de position, appartiene toujours à une surface 

 courbe déterminée, puisque des trois coordonnées, deux étanc 

 doiinées, la troisiòme s'ensuit nécessairement. Ainsi, par exem- 

 ple, en supposant les trois plans rectangulaires , l'équation 



n'appartiene qu'à la surface de la sphère , dont le centre est h 

 l'origine & dont le rayon est =a. Une équation aux diffé- 

 rences ordinaires à trois variables appartiene à une infinite 

 de surfaces courbes qui ne diffèrent les unes des autres que 

 par le paramètre qui a disparu dans la dilFérentiation. Si l'on 

 diiférentie, par exemple, l'équation précédente, l'équation 



xdx-\-ydy->s-\di=^o 

 qui en résulte , énonce simplement que la surface est sphé- 

 rique, & que son cenere est à l'origine, sans rien statuer sur 

 la grandeur de son rayon. Mais une équation aux différences 

 partielles à trois variables exprime la manière dont la sur- 

 face est engendrée indépendamment des courbes générarrices. 

 Je vais en citer plusieurs exemples actuellement connus des 

 géomèrres. 



I. L'équation y ÌI _ ^ -^ = o 



dont l'intégrale est j = (p ( x^ -+- y' ) 



exprime que la surface est de revolution autour de l'axe des 



