PAR M/ l'aBB^ GIANELIA 399 



déduire de la simple considéracion des puissances de Z = i 

 — - -\- — — .... transformées par de simples substitucions 

 i-égiilières, sans avoir recours aux méthodes pour le retour 

 des séries. 



$. II . 



Réjlexìons sur la somme des puissances des nombres naturels, 



I. Soit i", z"", 3", 4°", «"■ une serie arithmétique for- 



mée des puissances m des nombres naturels , &c en nommant 

 T le terme n.'"' soit T = n" : soit S la somme des termes 

 « , 5 la somme des termes n — • i ; de la théorie generale des 

 suires arithmétiques on a 



S = An"'-^' -+- B/z" -4- Cn"'" -+- Dn""' -f- .... -f- Gn. 

 s=AQi-i)'"^'+B(n-i)'"+C{n-i)'"-^+D{n-i)'"-'-\-..+Gin-i) 



Or il est clair que S — s est le terme n."" de la suite , dans 

 laquelle la somme des termes n est S, Se celle des termes 

 n — I est s; 6c que par conséquent T est identique avec 

 S • — ■ s ; donc les deux membres suivans 



«"'=A/i"'+' H-Bn'"H-C/z'"-'-|- .... (A(«— O^+'-hBC/z-i)™ 

 -+- C {n — i)"'"' -I-....") sont identiques. 



Il suit de là qu'en développant les puissances de n — i, & 

 en ordonnant par n , les coòfficiens des deux membres seront 

 égaux, & on aura autant d'équations qu'il y a de cocfficiens 



A, B, C, & par leur moyen on determinerà les mémes 



coèfficiens. 



Par certe méthode l'on a A = — , B = ""— A = ì , il 



résulte aussi que les valeurs de C , D , E , ont succes- 



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