44^ RÉFLEXIONS SUR QUEIQUES S^RIES 



& puisque (y -l- ay = j" -h nay" — '-4- "" ' -^ a* y' 

 a'^ y" — 3 -+-... on aura (jH-a)" =y' 



3 .vi -• 2 



1 .n 1 . n- 



I . a. 5 



D'où en faisant n = i, il s'ensuit y -h- a = y -{- ady 



li ■ I. 3. 5 • 



Théor. I. Soit Z=i -4-(2Ar-f-^x^-f-cx''-4-...,on aura 



iZ"-^' = «-4-i Z dZ 



Dém. Elevez Z aux puissances ra, ra+i,&en difFérenciant x 



dans chaque terme de Z vous aurez la valeur de ^Z""*"', multi- 



pliez Z" par JZ, &: le produit par n -j- i , comparez les 



termes, qui en résultent avec ceux de ^Z""*"', -vous les 



trouverez nécessairement identiques. 



Théor. 2. Soient Z, Z' deux polynomes quelconques fonc- 



tions de X-, on aura <i ( {{' ) = T.dX' -+- TJdZ. 



Dém. Cherchez iZ, dT en diiFérenciant terme par terme, 

 & après avoir multiplié Z par Z', cherchez d'une manière 

 seniblable d ( ZZ' ), comparez les valeurs de d ( ZZ' ) , 

 Zc/Z' -+- T dT., vous les trouverez identiques. 

 Cor. C'est pouiquoi le produit detrois, quatre.... fonctions 

 de X étant donne, on aura une expression abrégée de ce qui 

 résulte en diiFérenciant x dans le produit propose. 

 Théor. 3. Soient Z, X fonction de jt, & soit Z divisible par 

 X™, suppose que m représence un nombre entier positif quel- 



