47© réflExions sur QDELQUES SI?RIES 



Siipposons que deux séiies l'une convergente ù. Tautre 

 divergente puissent donner une méme racine réelle; puisqu* 

 elles représentent une méme quanticé, par la méme siippo- 

 sition de quelque coèfficient de l'équation =o, elles doivent 

 dévenir = 0(14), & en conséquence ótre ordonnées par les 

 puissances d'un méme coèfficient, &: poiir cette raison les 

 coèfficient des termes semblables des deux séries seront égaux 

 (iij; donc l'une & l'autre seront divergentes, ce qui est con- 

 tre la supposition, 



17. Théor. Chaque serie peut étre considérée comme la 

 valeur d'une racine d'une équation de termes finis ou infinis. 



Dém. Soit une serie ^-^ a -\-b -\-c . . , =x : soit .v" =: 

 j™_4_a'-4-^'-l-c'-t-... ^x" = f-^a"-\-b"-\-c"-\-...^ 

 yf -\- a"'-h b"'-+- c"'-4- ... & soient a^ b^ e accentuées 

 ou non, fonctions de Z. Qu'on multiplie par <p, (p', (p", . . . 

 prises pour fonctions à déterminer, les suites précédentes , 

 valeurs de x", x", x^ . . . &c en ayant fait la somme qu'on or- 

 donne par Z les termes de cette somme, & de la suite don- 

 née , & les coèfficiens des puissances semblables de Z étant 

 posés égaux, on aura plusieurs équations, qui renfermeront 

 des termes, fonctions de (p, ?', <p" . . . qu'on determinerà avec 

 elles en prenant les exposans^z, n^p comme donnés à vo- 

 lente. 



Par ce moyen on aura l'équation 

 % = ■{ -+- (p x" -4- c|»'x" -\- <^" x^ -{-.... ÒQ termes finis ou 

 infinis selon qu'ils résulteront du nombre fini ou infini ip, $', 

 ^",... &C X = :{ -if- a -W b -f- e .... sera une racine de 

 l'équation trouvée. 



X 



