PAR M/ DE LA GRANGE Zl^ 



Il est clair aussi que la subscitution employée ne rendra 

 jamais la variable y imaginaire tant que *, &: le radicai 

 l^~(a-\-l>x*-+-cx*) seronc réels. 



Au reste la condicion à laquelle nous venons de satisfaire 

 se trouvera remplie d'elle-tnéme par la transformation de l'art. 

 3% toutes les ibis que le quinome sous le radicai sera résolu- 

 ble en deux facteurs simples réels 6c eii deux imaginaires; car 

 si les deux équations x^-{- nx -\- ni =0, x^-\- n' x -i-m'= o oat 

 l'une des racines réelles &c Tautre des racines imaginaires, les 

 deux quancités «' — 4/n, «" — ^m' seront de signes diiFérens, 

 6c par conséquent les coLfficiens a Se y du trinome <t -+- !2y'' 

 -+- yy* seront aussi de differens signes, en sorte que ce tri- 

 nome sera nécessairement résoluble en deux binomes réels. 



5 De ce que nous venons de démontrer jusqu'iti, il s'en- 

 suit que l'integration de la diilerenticUe proposée J*Jx, se réduic 



touiours h celle d'une dilTérentielle de la forme ,"77=7=it7==^5=, 



où N est une fonction rationnelle de x\ &c a, ^, m, n sont des 

 coèfficiens quelconques réels. Ainsi toute la difficulté ne con- 

 siste qu'à trouver l'intégrale de cette dernière dLTérenticlle. 

 Quanc à l'intégrale exacte elle paroit impossible en genera! , 

 du moins l'analyse connue ne fournit aucun moyen pour l'ob- 

 tenir; mais il y a deux cas où elle se présente d'elle-méme ; 

 le premier est celui où l'un des coèfficiens ^, n est nul , l'autre 



est celui où ^ = '7, ; dans ce dernier l'irrationalité disparoit, &; 



dans le premier il ne reste que l'irrationalité relative à la qua- 

 dratura du cercle ou de l'hyperbole, «Se qu'on peut toujours 



faire disparoitre par les méthodes connues. Si donc la propo- 

 f f P. IL 



