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&c pnr une mème formule non seulement la longueur de l'are 

 elliptique qui répond h l'abscisse donnée, mais encore celle 

 des arcs qui répondent à diil'érenres aucres abscisses; &. si 

 c'cst un inconvénient dans le cas oìi l'on ne demande que 

 l'are d'une abscisse donnée, ce sera au concraire un avan- 

 tage, lorsqu'on voudra conscruire une cable de la longueur 

 des arcs pour toutes les abscisses. Nous verrons d'ailleurs 

 que certe mulriplicité de valeurs cesse d'avoir lieu lorsqu'on 

 emploie les transformations de l'article II, lesquelles con- 

 duisent à des différentielles intégrables par les logarithmes. 



z-j. Pour l'hyperbole où e > i &: x' aussi > i , on mettra 

 d'abord pour évicer les imaginaires l'élément de l'are sous 



iix>/~(e'x' — l) 



cetre forme ^ multipliant ensuite le haut & 



le bas par |/~(e*A'— i ) on aura la dilFérentielle 



ou bien 



M f 1 ( A-^-Bx')dx 

 qui se rapporte a la rorrnule -^^ = 



di l'article ii en y faisant A = — i, B = e', /> = (;', y = i. 

 Ainsi les nombres />, p' , p" &cc. augmenteront depuis la va- 

 L'ur de e, & les nombres y, y', q" &cc. iront en diminuant 

 depuis l'unite. 



Or puisque x' > i , par la nature de l'hyperbole, on aura 



