1^1 SUR UNE NOUV. MliTH. DE C A tCUL INTINGE. 5cC. 



de l'are, réduire le radicai du numérateur en une serie con- 

 vergente , &c ensuite intégrer chaque terme en particulier par 

 les métliodes connues ; mais à mesiire qu'on s'éloigne de ces 

 deux cas, la convergence des séries diminue, & il faudroit 

 souvent pousser les séries très-loin pour avoir des détermi- 

 nations de l'are suffisamment exactes. Feu Mr. Euler a donne 

 pour ces deux cas, dans ses Opuscules, des séries qui repré- 

 sentent le quart de l'ellipse. 



Le premier n'a point de difficulté, paree que la serie esc 

 toujours convergente lorsque e est une petite quantité, la varia- 

 ble X ne pouvant jamais excéder l'unite. Il n'en est pas de 

 ' méme du secondj car en supposant e* peu dilFérent de l'unite 

 &. mettane en eonséquent le radicai ]/" ( i — e^ x^) sous la 

 forme V~( i — x' -4- ( i — e') x*), il est elair que la sèrie 

 dans laquelle on développeroit ce radicai en prenant i — x* 

 pour premier terme, & ( i — e*)x^ pour second terme, ces- 

 serà d'étre convergente près du sommet de l'ellipse ou i — x* 

 est une quantité très-petite ou nulle ; & qu'ainsi elle ne pourra 

 servir pour déterminer la longueur du quart entier de l'ellipse, 

 mais seulement pour une partie de cette longueur. Mr. Euler 

 n'a résolu ce cas que par des méthodes indirectes; mais com- 

 me il est analogue à celai dont nous avons traité dans l'arti- 

 cle 15, il peut l'étre par des principes semblables. 



Pour ne rien laisser à désirer ici sur l'objet présent, nous 

 allons donner succinctement la solution des deux cas dont il 

 s'agit, en présentant les formules les plus simples & les plus 

 générales pour la rectification des ellipses peu excentriques , 

 ou très aplaties. 



