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PROP. 11 TEOR 



L integrate delta formola — -— j — ^ 7- dipende dalla reilifi- 



cazione deireltisne, quando i ditc termini x^ e tc' del denominatorc sieno 

 insicmc negalivi. 



Ed ei dipenderd dalla rettificazione delViperbole, quando sia ne- 

 gativa una sota dclle detle grandezzc x" e lt\ 



Dim. cas. 1 . — Supponiamo in 1° luogo csser ncgativi entrambi i ter- 

 mini x' A' , in tal caso non dovra csscrc fi" niiuore di A^. Imperoccho la 

 grandozza |^/(2Aj;— x^ — A") puo averc quest' altra forma i/[A^ — A"_ 

 (A — xY], la quale sara imiuaginaria se trovisi /i'</c'. Ed csscndo x — fi — 

 l/(^»_/,'), ed f, — y[h''—li')—x i fat tori del trinimio 2tix—x'—k% sara 



dx\ X dx\/x 



I [2lix— d' —A-')~ylx—li—l/ (li' — k') (li — (/ (fi' — k^ ) —x] 



!\Ia quest'allro integralc dipende dalla rettificazione di quell' ellisse, di cui 

 il scmiasso maggiore e ugualc ad ti.-\-[/{fi' — A-'),c ad ti — [/ (h''—k'),i\ 

 suoscniiparamelro ; dunque auclie dalla rettificazione di late ellisse ne 

 dipende il primo. 



Caso 2. — Che se suppongasi nogativa la k" solamente, sicche quel 

 dato trinomio sia 2fix-^x' — A' , i fattori di questo dovraimo cssere le due 

 grandezzc rcali x + fi + \/ (li" + k') ed x'+h — \/{/i' — A;"), dunque sara 



dx \/x dx \/x 



\ '2hx -\- jf—li')~ \/ x-\-\/ (li'-\-l{')-\-h)[x—\/[li'+k')+h) 



E quindi il T di (jucsti due intcgrali al par del socondo dovra dipondere 

 dalla rettificazione di quciriperbole, che abbia 2A-|- (/(/«'+ A") per un 

 de'suoi scmiassi, e per (/(A'-t-A")— /« il semiparametro che gli appar- 

 lienCjC con Ic oondizioni del leorcma prercdcnte. 



Caso 3. — rinalnicnlc sl- il proposlo fratto abbia quest' altra forma 

 dx \/x . . if'^ 



t/(2Ax— x'-4-A-*\ ' "^"^ ^"'^ ' "''S^'" '^ ''■^ s'*''! ^% ^oytk porsi a;= — , ed 



