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PROP. IV. TEOR. 



LHnlcgrale della f'ormola ,, , — -r-i? P^'^f' ^'idursi alia rettifica- 



zione delle curve conichc. 



Dim. Questo assunlo vuol dimostrarsi nel solo caso,che sien posilivi i 

 quadrali x^ e k^ del dcnominatore, c I'indice -^ del numeralore. Imperoc- 

 che i rinianenli casi vengoa dimostrati aelle due proposizioni 2 c 3. 



Cio posto sien reali i fattori del Iriaomio x^ ^hx -\- k^ . Quesli, come 

 dall'Algebra si rileva, dovranno averc la forma x-\-m cd x-\-n nel caso 

 di -f- 2hx, c di x — m ed x — n neirallro caso di — '2hx. Perlocche se 

 facciasi x-\-in = z, nel primo di questi due casi, la proposta formola do- 

 vra cangiarsi in 



(z — m)dz dz\/z mdz 



y/z. l/(z — m) [z — m-\-n) \/[z — m)(z — m-\-n) |/(z — m) (z—m-\-n) 



E queste due ullinie cspressioni sono inlegrabili per la rellificaziotu' 

 delle curve coniche, come anteriorraente I'ho dimostralo. 



E ad una consimil conseguenza si pervercbbe quando quc'faltori aves- 

 sero r altra delle indicate forme , cioe x — m ed x — n , soslituendovi r- 

 per X — m. 



Ma se mai si rilrovino immaginari i due fallori del lrinomio.i'''±;2A:j.' 

 -\-k\ dovra farsi x +^=z, nel l°caso di +2kx. Onde sari x^+2kx+k' 

 =z' — h' + k'^z'+r'', facendovi A"— /i'=/■^ E la proposta formola, in 

 virtu di tal sostituzione, dovra diventare 



[x—h) dz ^ rfzt/ (z—h) ^ 



l/(z— A). l/(z"+r') V{z'+n 



Iiioltrc si ponga la nuova variabile v uguale a z-\-\/[z'--\-r^), o ch(! 



e lo slesso, \/{z^-\-r^)=v — z. Quadrando quest' equazione, e fattcvi le 



v^ — v^ 

 proprie riduzioni, saraz= — r — . Sicchc sostituendo in S questo valore 



di z,ne verra,come nel 3° caso della proposizione precedenteil rilevammo. 



