CON TRE PUNTl Dl REGRESSO DI 1." SPECIE 4.1 



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oxfi -+■ o»'l3 -+■ 01/3 

 rapprcscnta I'ascissa del quarto punto d'incontro. Da questo valore si vede 

 chc se 



3«/3'+3«'/3 + «i3==0 

 ossia se il punto a' , (3' sta (fig. /) sulla retla A'B' parallela ad AB e con- 

 dotta pel punto D prcso in raodo che sia OD':=-iOA risulta a;= oo , e per 

 conscfjucnza la tangonte in c parallela ad un asintoto dcUa curva. 



Delle analoghe proprieta dovendo aver luogo per gli aliri punti B 

 ed A , ne segue che prcse Ic AD e BE rispetlivamentc uguali ad OD' 

 ed OE' c condolte le due rette B'O', A'O' parallelc alio duo OB cd OA, 

 se il punto a', j3' sta sulla retta A'O' la langcnte in B e parallela ad 

 uno dcgli asintoti dclla curva, e se sta sulla A'B' la tangente in A e 

 parallela ad un asintoto. E chiaro poi che se si scelga uno de' punti 

 C, A', B' per punto di concorso delle tre tangenti in 0, A, B due di 

 questo tangenti saranno parallole a duo asintoti dclla curva; e se il 

 punto suddolto non sta sopra alcuna delle rotte O'A', A'B', B'O' ciascuna 

 delle tangenti in 0, A, B incontrera la curva in un punto determinato. 



4. Per ineglio discutere le varie curve che possono essere rappre- 

 sentato dairoquazione (6, 2) si rifletta che in essa, come gia si e detto, 

 le quantita a, /3 possono essere considerate sempro positive, ed inoltre 

 dovendo il punto a', /3' cader sempre o in uno degli angoli del Irian- 

 golo OAB , o in uno degli angoli opposti a' vertici, possiamo supporre 

 che siensi presi per assi quelle rette chc forinano langolo in cui c com- 

 preso il punto a', /3'; onde le due quantita «', (3 potranno esser consi- 

 derate scmprc dello stcsso segno. Ed e chiaro che do non limila in 

 nulla la gonoraliti dcircquazione suddctta^ quando si vuole solo discu- 

 tere a fin di conoscere le curve di diversa specie che pu6 essa rap- 

 presentaro: imperocche dando ad «', /3' segni diversi, si avrebbero del- 

 le curve differenlemente situate rispetto a' punti 0, A, B, ma non di 

 diversa forma. Cio posto ponendo ncU'equazione (6, 2) 



ij = lx, (1) 

 si ha un'equazione dclla forma 



Ax^ — 2Bx + C=o, (2) 

 in cui 



A = «V7*-(-:?«Vi,5 — 2 ,3 V+ («'/3' — C«x'|S^"l r+2(3'^' (a— 2aV+/2 /3 % 



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