7-i TRCDI — nAPPRESENTAZlONE GEOMETRICA IMMEDIATA 



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E noto che I'oquazionc diffbrcnzialo 



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ummcllo uii inlcgrale algebrico (*) il quale, dalcj la prima volta da Eulcro 

 per vie indirellc, fu poscia rinvenulo da Lagrange con mclodo diretlo. Ecco 



(•) Lc propriety di un sistema di due sezioni coniche esposie tiei teoremi prece- 

 denli conducono naturDlmente a riconoscere die I'integralo corapleto dell'cquazione dif- 

 ferenziale, di cui ora ci occupiamo, ha la forma 



Au'u,=-l-tB;u-l-»,)wUi-l-C,(m-«,)''4'2D!M+u,)-»-2Eit»,-<-F=0; 

 e la deteriiiinaiione dei coefflcieuti A, B, C, D, E, F, riducesi alia idcntiDcazione del 

 dato polinomio 



con quelle rappresenlato poc'anzi da i/[u), vale a dire con 



(I!»-AC)«»4-2 BE— AD «= VlE=-AF+2(CE-BDil«M-2:DE-BF;U-i-(D'-CFj. 

 yuesta idenlificazione di luogo alle cinque equazioni di condizione 



B=— AC=a 



BE-AD=i|^ 



E'-AF+2(CE -BDi=y 



DE-BF=i3 



D'— CF=:; 

 e come le incognite A, B, C, D, E, F sono al numcro di 6, cosi una di esse rcstera in- 

 detcrminala; c sari in consogurnza la coslanle arbilraria dell' integrale completo. Ma 

 qui subenlra una dilEcolti di grave momento, quella ciofe della eliminaziono tra le cin- 

 que equazioni di condizione per ricavarne i valori delle cinque incognite. 



Eulcro, qucsto nome immenso clie bisogna riprodurrc ad ogni islante , e ad ogni 

 fatto della scienza del calcolo, senza punto conoscere le propricli suindicate delle se- 

 zioni coniche , avea , come per prcvisione , riconosciuto uella stessa forma P integrale 

 gcnerale di cui si tratta ; ed i primi suoi lavori intorno a quesla riccrca formano il 

 soggetio del cap. VI del 1.» volume del suo calcolo integrale. Egli si riduce egualmenle 

 alia identilicazione dei due polinomii , c sono veramente ammirevoli i ripieghi cui n- 

 corre per vincere le difficoltii dolla eliminazionc, cd ottcnere le espressioni delle cinque 

 incognite. Si veggono i paragrafi da 624 a 628 del citato cap. VI;. 



Reca inlanto meraviglia come questo indiretto procedimento d'inlegrazione sia dal 

 .sig. Moigno attribuito al sig. Cauchy, cosi esprimendosi a pag. 485 del vol. 2. delle le- 

 zioni di calcolo dilTerenzialc ed integrale, § 192: Dans ses lemons a I'Ecole polyUchnx- 

 cjue, M. Cauchy est arrive, d'une maniire toute .Ufferente. a Vintefjralcde VeqmUon 



Dx _ Dy 



