DELI.'eQUAZ. PONDAM. NELLA TEOR. DELLE PIIN7.. ELLIT. 77 



TEOUEMA 4..° 



Data I'eqiiazione differenziale 



du du, 



ed una sezione cojtica qualitiKjue 



y^=2rx-\-mx'^ , w) 



si descriva uiialtra sezione conica (S*) di equazione 



(16) fK ! yy=+(m|3 rS)a;y4-(m'a-mK4-E:a;'-|-2r^i/+2r-{2m»-K)a;+4r'»=0 (S') 



dinotando R xma quanlitd arbitraria. Posto cid se nella conica (S) si 

 iscriva mm eorda qwihinquc tangcnte di (S*) , e si congiungano Ic mic 

 cstremitd con I'origine , le tangent i trigoiiomelrich£ de'due angoli che 

 h congiungcnti formano con fasse dclle x, soddisfcranno tanto la pro- 

 posta equazione differenziale, quanta il suo i?itegrale complete (14). 



COROLLAIIIO I. 



Segue dal corollario del teorema 2.° the la conica (16) e I'inviluppo 

 di lutto le corde della conica(S)i di cui element! u ed m, soddisfano la data 

 equazione differenziale. 



COROLLARIO II. 



Siano K„ c R, duo valori parlicolari della costanle arbitraria R; cos! 

 la (16) dara luogo a due coniche dislinlc 



(R, + yV/+(m/3 + 5'j-y4-(wf»— mR„ + e)x"+2;-^^ 



+ 2>-(27na— R,)a: + .ir"«=0, (S\) 



{Y., + y,/ + {ml3-^S)xij-\-[m'»—mK, + i)X^ + 2rl3g 



+ 2r(2m»—i^,)x-\-ir^»=0 ; (S',) 



Sollraendo Tuna equazione daH'allra, c sopprimcndo dal rcsiduo il fatto- 

 rc R„ — R, , risulla I'equazione 



y'=2rx-\-7nx^ , 

 ch"c quella istessa della conica (S) ; il che dimostra che quesla conica, e le 

 due (S'„) ed (S',) s'inroalraiio ne'niedesimi quattro punti. :\Ia dopo cio e 

 chiaro che, qualuuque sia il valore parlicolare che si attribuisce alia co- 

 stante arbitraria R, la conica corrispondente passera sera pre per gli stessi 

 quattro punli , e si ha quindi il segucnte 



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