CIRCOSCRITTIBILI AD UN QUADRIGONO, EC. 24.9 



15. Ove fosse aa'^ — hb' , ipolesi che puo solo avverarsi nel quadii- 

 gono di scconda specie, Tequazionc (A) si riduce ad (*) 



y^ + 2\!>xy — x^ — 2?y + 2a.x— aa' =o. 



Or se di piii i lati opposti AD, IJC presi per assi si suppongano ortogoiiali^ 

 (juesla cquazione non polra coslruire altre curve che iperboli equilaterc. 

 Inlajito siccome la relazionc «»'= — 66'annuncia I'eguaglianza de'rettan- 

 goli UA IID ed Rll RC, e siccome RB e supposta pcrpendicolare con la 

 inlersczione delle tre allezzc del triangolo ARD; c percio nel caso che con- 

 sidcrianio il quadrigono e ortogonale. Quindi risulta, die: 



Le innumcrcvoli sezioni conicho inscriltibili ad un quadrigono or- 

 logonale soiio lulle iperboli equilalere. 



16. Segue da questo leorema che se descrivasi a piacere un'iperbole 

 equilalera per Ire vertici di un quadrigono orlogonale, la medosinia pas- 

 sera ancora pel quarto vertice; ma questa proposizione merita di essere 

 direltamcnte comprovata. Ed a tareffelto supponiamo descritla un'iperbo- 

 le equilalera pe'trc vertiri A,. B, 1); allora il lato BC, preso per asse dclley, 

 avendo gia con questa curva una intcrsezione nel punto B^ avra con cssa 

 anche un'altra intersezione; e supposto che queslo inconlro avvenga inC, 

 jwrremo RC' = .6". Ora I'equazione della iperbole dovendo aver la forma 



y' -\-2^xy—x^-\- 2Dy + 2Ej + F = o , 



se si fticria ora y = o , cd ora x = o , f,\ avranno lo duo oquazioni di 2° 

 grado 



x^ — 2^x—? = o , y'-f 2D// + F=o , 



aventi a radici Tuna i segmcnli RA, RD, cioe a, a'; I'altra i segnionti 

 RB, RC',ossia6, 6"; e quindi emcrgono le due relazioni aa'= — F, bb"=^F, 

 donde I'altra an' = — bb" : ma essciido il quadrigono ortogonale si lia 

 aa'= — /;6';adunque risultera b'=:b"; vale a dire OC=OC'; e cio prova 

 che il punto C si confondc col punto C. In conseguenza: 



Ze innumerevoli iperboli equilalere descrittibili per tre vertici di 



(•J V. la nota precedenle. 



