22 PLADTl SULLA GENUINA NOZIONE 



ill qualiuique caso , c per sotlile die esso sia rigcllarsi , come con- 

 jradditlorio all' evidenza geometrica , ed aversi pero come un prodotto 

 delle solligliezzc di clii lo propone , voglio anclic rassodarlo con un 

 esempio Iralto dagli Elementi stcssi Euclidei, qual si e la proposizio- 

 jie 11' del ir libro , o la 30" del VI", cioe di dividei^e la retta AB in 

 modo, che il rettangolo di AB in 13H pareggi kW {fig. S). 



Fatia la costruzione Euclidea della 11 '' El. 11", che vedesi nella fi- 

 gura che ne reco , mi liniito a dimostrare non csser soddisfacentc 

 a I problema la sola AF , come n' ebbe falto Euclide, ed in questa pro- 

 posizione , e nella 30" El. VP, ma ancora la CF. Si prolunghi dunque 

 Ja BA in R , sicche la AR pareggi la CF, e da essa tronchisi AS uguale 

 ad AH , c quindi alia AF ; sara la rimanente LR uguale ad AB data. 

 Ed essendo pel 1° caso dimostralo da Euclide AB : AH :: AH : HB; sara 

 per la 12 El. V. BS : AB :: AB : AH , e per la medesiraa 12 sara e- 

 ziandio BR : BS :: BS : AB , cioe BR : RA :: RA : AB. Da che risulla la 

 soddisfacenza della CF al problema, del pari che la AF ; e per tal mo ■ 

 do gli si attribuisco il grado che gli e proprio. 



Un lal problema risoluto con I'Analisi moderna, col porre le relte 

 AB=o, ed il maggior segmento AH = x, avrebbe immantinenti data I't- 

 quazione 



x^ -h ax — 0^=0 ; 

 donde 



^ = — -2-«±l/ T«-; 



c pero le due radici — — a-\'y-^a^, e — — a — a/ -j- C en- 



trambe soddisfacenti al problema , i cui geometrici valori sono le ref- 

 te AH ed AR. Ne valga il dire , che con la seconda di queste due 

 radici siesi trascorso ad un soggetto non espresso nella condizione del 

 problema , cioe di produrre la retta AB per modo, che il rettango- 

 lo di tutta essa con la parte prodotta , nella retta data, pareggi il 

 quadrato di qnella parte ; poiche questo problema maneggiato con 

 I' Analisi moderna , conduce all' equazione 



a;- — aa; -f- a* = o 



