206 N. PERGOLA RICEHCA DELLA ESPRESSIONE Dl UNA DERIVATA QUALUNQtE. 



dunque dovrd essere 



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'ninn' 





valore idcntico con qucllo die si ricaverebbe daH'cquazione {a) col inu- 

 tarvi 71 in ii+\ , c p, , p. , p^ . . . . in q, , q^, , qi . . . . 

 Segue da lutlo cio , che se 1' equazione [a) c verificala per un coi'lo 

 valore di n , cssa lo sard pure per lo stcsso valore aumenlato dell'u- 

 nila ; c poiche dall'equazione (1) rilcvasi essere soddisfalta rcquazione 

 («) per n= 1 , cosi resla dimoslrata Fesattezza dell'cnuncialo valore di 

 A„ per qualunque valore del niunero n. 



Riassumendo puo dirsi che : 

 iSe X ed y dinotano due funzioni inverse I'lntu dell' allru, e se si 

 rappreseiilano con y , y''. . . . le derivale successive di y per rap- 

 porto ad x, e con x', x". . . . quelle di x per rapporlo ad y, devc 

 essere 



dove i valori di jo, e di A„ sono rispetlivamcnte 



p, =z n -i- p, -^ p . -{- -H p„ 



A„=- 



i-i)'""n'p,-i) 



n2P2n3''''n4''* . . . unP"upj]pMp, . . np„ ' 



e la somma S deve estcndersi a tutli i valori inleri e positivi (in- 

 ^luso zero) di pi . p, . . . . p„ che verificano Vequazione , 



Pi-h2p^-h 3p^-+- ■+- {n—\)pn = 71 — 1 . 



